正四面体ABCDの頂点からおろした垂線と外接球の中心が同一直線上にある理由

辺の長さが3の正四面体ABCDの外接球の半径を求める数学の問題の解説で、
『外接球の中心をO、Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとしたとき
①AB=AC=AD
かつ②OB=OC＝ODであるから対称性よりA、O、Hは同一直線上にある』
とあるのですが、①AB=AC=ADかつ②OB=OC＝ODが言えると、なぜA、O、Hが同一直線上になるのかが分かりません。(感覚的にはわかるのですが…)

他の知恵袋等、インターネットで調べたところ、上記の対称性は回転対称性の事ではないか？という解答を見つけましたが、それはつまり
『①AB=AC=ADから言える事は、正四面体だから、各辺の長さが同じで、直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいからBH=CH=DHとなりHは△BCDの外心と一致し、120°、240°と回転させると元の正四面体と重なる。
また、②OB=OC＝ODから言えることは、Oは外接球の中心でありAOを軸に回転させると元の正四面体と重なる。』

という事であり、
結果、(正四面体の１つの頂点から考えて)同じように回転させて正四面体が一致する軸は１つしかなく、A、O、Hは同一直線上にあると言える、という理解で間違いないでしょうか？

また、正四面体の１つの頂点からの垂線上に、外接円の中心は存在するという事実は、問題を解く上で前提としても問題ないのでしょうか？

長く、分かりにくく申し訳ありません。ご回答、よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/10 23:07

あまり難しく考えずに, 外接球の中心 O を xyz 座標空間の原点に, A を z 軸上の正の部分に取り,

それに合わせて B, C, D の座標を定めてはどうでしょうか.
添付画像のとおりに見やすくするなら, B の x 座標は正で y 座標は負, としていいでしょう.
あとは数式計算により, H が z 軸上にあることを証明するだけです.

この問題は, ことばは悪いですが「ただの計算問題」なので,
対称性とか回転を本格的に調べるのは, 出題の趣旨から外れるような気がします.
計算問題ということを考えれば, A, O, H が同一直線上にあることに関しては,
「対称性」ということばだけ添えて言及すればよく, 証明せずに使っても減点されないと思います.

この回答へのお礼

ご回答誠にありがとうございました。

お礼日時：2016/07/18 17:51

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/07/11 17:04

四面体の外接球の中心は各辺の垂直二等分面の共有点となります。

(これがわからないようでしたら三角形の外接円について考えてみるとよいでしょう)

BCの垂直二等分面とBDの垂直二等分面を考えてみましょう。
この二つの面の共有点は直線となります。上記のことから外接球の中心はこの直線上に位置します。

この二つの面の交線がAHと一致することからOがAH上にあることが言えます。
このことを示すには
(1)AがBC,BDの両方の垂直二等分面に含まれる。
(2)二つの垂直二等分面の交線が面BCDに垂直である。
であればよいのです。

(1)は垂直二等分面の性質を考えれば簡単。
(2)も簡単に示せます。

この回答へのお礼

ご回答誠にありがとうございました。頂いたアドバイスをもとに、もう一度よく考えてみたいと思います。

お礼日時：2016/07/18 17:52