英語の確率の問題なのですが 確率詳しい方解き方を教えて下さい>< お願いします！

英語の確率の問題なのですが
確率詳しい方解き方を教えて下さい><
お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/10 01:13

CDF は、こちらの前の質問で説明したとおりです。

まだ理解できていませんか？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9447104.html

　「累積分布関数」ですから、「下限」からどんどん累積して行って、「上限」で「１」になる関数です。
質問の問題の場合は、「下限」が -5, 「上限」が 7 ということですね。

　つまり
　　-∞ ～ -5 : FV(v)=0
　　-5≦v≦7：FV(v)=(v + 5)^2 /144　　　　　　　　　　①
　　7 ～ ∞ ：FV(v)=1
という、-５≦v≦7 の区間だけが単調増加の二次関数で、あとは水平な直線というわけです。

　期待値や分散を計算するには、「累積分布関数」からは求められないので、「確率密度関数」に置き替える必要があります。

　累積分布関数は、確率密度関数を f(t) とすると
　　FV(v) = ∫[-5→v]f(t)dt　　　　　　　　　　②
ということです。

　累積分布関数が
　　FV(v) = (v + 5)^2 /144
ということは、確率密度関数 f(t) は
　　f(t) = at + b
という形になるはずです。これを②に代入してみると
　　FV(v) = ∫[-5→v](at + b)dt
　　　　　= (at^2 /2 + bt)[-5→v]
　　　　　= av^2 /2 + bv - 25a/2 + 5b

これが①に等しいので、
　　a/2=1/144, b=10/144, - 25a/2 + 5b = 25/144
となります。
　よって
　　f(v) = (v + 5)/72　　　　　　③

　試しに、③を定義域で積分してみると
　　∫[-5～7][ (v + 5)/72 ]dv
　= [ v^2 /144 + 5v/72 ][-5～7]
　= 49/144 + 35/72 - 25/144 + 25/72
　= 72/72
　= 1
となって、確かに確率密度関数となっていることが分かります。


(a) E[V] は期待値、Var[V] は分散です。

　期待値は、「その確率変数の値を、その実現確率の重みをかけて平均したもの」ですから、確率変数の値 v に実現確率 f(v) をかけて、変数の定義域 -5≦v≦7 で積分すればよいことになります。

　E[V] = ∫[-5~7][ v*f(v) ]dv
　　　 = ∫[-5~7][ v(v + 5)/72 ]dv
　　　 = (1/72)[ v^3 /3 + 5v^2/2 ][-5~7]
　　　 = (1/72)[ 343/3 + 245/2 + 125/3 - 125/2 ]
　　　 = (1/72)[ 468/3 + 120/2 ]
　　　 = 3

　分散は、「期待値との二乗偏差を、その実現確率の重みをかけて平均したもの」ですから、確率変数の値 v と期待値 E(V) との偏差の二乗に実現確率 FV(v) をかけて、変数の定義域 -5≦v≦7 で積分すればよいことになります。

　Var[V] = ∫[-5~7][ (v - E(V))^2 * f(v) ]dv
　　　　 = ∫[-5~7][ (v - 3)^2 * (v + 5)/72 ]dv
　　　　 = (1/72)∫[-5~7]( v^3 - v^2 - 21v + 45 )dv
　　　　 = (1/72)[ v^4 /4 - v^3 /3 - (21/2)v^2 + 45v ][-5~7]
　　　　 = (1/72)( 2401/4 - 343/3 - 1029/2 + 315 - 625/4 - 125/3 + 525/2 + 225 )
　　　　 = 576/72
　　　　 = 8


(b) E[V^3] は「確率変数 V に対する V^3 の期待値」ですから、確率変数の実現値 v^3 に実現確率 f(v) をかけて、変数の定義域 -5≦v≦7 で積分すればよいことになります。

　E[V^3] = ∫[-5~7][ v^3 *f(v) ]dv
　　　 = ∫[-5~7][ v^3(v + 5)/72 ]dv
　　　 = (1/72)∫[-5~7]( v^4 + 5v^3 )dv
　　　 = (1/72)[ v^5 /5 + 5v^4/4 ][-5~7]
　　　 = (1/72)( 16807/5 + 12005/4 + 3125/5 - 3125/4 )
　　　 = (1/72)( 19932/5 + 8880/4 )
　　　 = 35328/1440
　　　 = 368/15

あまりきれいな数にならないので、どこかで計算を間違えているかもしれません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/09 23:35

素直に定義に突っ込め.