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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
はい, 分かりました.
固有値 λ_1 = 2 - √2 に対する固有ベクトルが u_1 で,
固有値 λ_2 = 2 + √2 に対する固有ベクトルが u_2 ですね.
どちらも, 正しく求められています.
正規化する際に二重根号が現れたのは, むしろ正しく計算できている証拠なので, 心配する必要はありません.
その二重根号, 具体的には √(4 - 2√2) だと思いますが, はずすのは不可能です.
ですから, そのままの形で計算を続けてください.
エルミート行列を, 適当なユニタリ行列で対角化する, 典型的な問題です.
根号と虚数単位の i は, このパターンの問題では常連ですが, 二重根号まで登場して, 計算は楽とはいえません.
私は最後まで計算してみましたが, ものすごく疲れました.
それでも, 結局は無事に対角化できましたので, どうかご安心を.
新たな疑問が生じたら, 遠慮なく追加質問してください.
なるべく丁寧にお答えします.
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No.3
- 回答日時:
失礼しました.
質問者様の u_1 と u_2 だと,
(u_1, u_1) = 4 - 2√2 ≠ (u_2, u_2) = 4 + 2√2 なので, 続きの計算が面倒になりますね.
私は u_2 = t[(√2 - 1)i, 1] を採用したのですが, このほうが計算しやすいと思います.
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No.1
- 回答日時:
固有値は, 正しく求められています.
それで, 固有ベクトルを求める際に, どのように困っているのでしょうか.
まず, 普通に(つまり, 大きさは気にしないで)固有ベクトルを求めて, それを正規化するだけなのですが...
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具体的には、
固有値それぞれに対して
固有ベクトル求めると
u1 = (x,y) = (1,i/(√2+1)) , u2 = (1,i/(1-√2))
となると思うのですが、これを正規化する際に
√の中に√が入ってしまうような式になってしまい、
答えを求めることが出来ずに困っているような状況です。
説明不足で済みません。