線形数学です これを対角化せよという問題で 自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに なってしまい

線形数学です
これを対角化せよという問題で
自分が何度計算しても固有値が1,3の二つに
なってしまい対角化できません
答えでは対角化できているのですが
お願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/01/28 17:12

No.2です。

すみません、書き間違いがありました。

固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,-2)です。

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/29 06:50

こちら ↓ でも, まったく同じ質問が見られます.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

貴方と同じく, 固有値が 1, 3 の 2 つだから対角化できない, と悩んでいるようです.
で, 貴方は行列 A の異なる固有値の個数がいくつなら, 対角化できると思っているのですか.

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/01/28 16:21

固有値は1(重解)、3となり、重解があるため一見対角化ができなそうに見えますが、

その重解に対する固有ベクトルを、その重解の重複度の分だけ見つければ対角化できます。

具体的には、λ=1のとき、固有ベクトルを(x,y,z)と置いてみると、2x+y+z=0ですね。
ということは、例えば、z=-2x-yですので、x=c1、y=c2と置くと、z=-2c1-c2なので、
固有ベクトルは、
(x,y,z)=(c1,c2,-2c1-c2)=c1(1,0,-2)+c2(0,1,-1)
となって、2つのベクトル(1,0,-2),(0,1,-1)が、固有値1(重複度2)に対する固有ベクトル
ということがわかります。
一方、固有値3に対する固有ベクトルは(1,-1,2)なので、

　　1 0 1
P= 0 1 -1
　-2 -1 -2

と置くと、
　　　　　1 0 0
P^(-1)AP= 0 1 0
　　　　　0 0 3

となって、対角化されます。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/28 16:05

固有値は1,3で合ってます。

1は重根で、固有ベクトルが満たす
式は
2x + y + z = 0
になりますよね。つまり解は平面で、2個のベクトルの1次結合に
なります。この２つのベクトルを適当に決めて2個の固有ベクトルと
すればよいのですよ。

固有値３の固有ベクトルと合わせて3個の固有ベクトルがあれば
対角化できますよね。

(2, 1, 1)に垂直な、一次独立なベクトルを2個適当に選べばよいので
(1, -1, -1)
(1, -2, 0)
とか、計算のやりやすそうなものを選んでください。