整級数展開の問題

整級数展開の問題を教えて下さい

1/1-x=(∞∑n=0)X^n (|x|<1)を用いて整級数展開を解け また 成り立つ範囲を求めよ
(1) 1/1-2x
(2)1/(1-x^2)
(3)1/1+x^2
(4)tan^-1x

No.1 ベストアンサー 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/08 21:32

普通だと、そのままテイラー展開を使うのでしょうが、1/(1 - x) の展開を用いてとけということのようですから、その方向でするとすれば、以下のようにするのだろうと思います。

まず、与えられた展開式の変数を別のもの、t にしておきます。つまり、
　　(a) 1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ..... (|t| < 1)　
　　（シグマを書くのは面倒ですから以下でもこんな形で書きます）

1). 展開すべき式は、t = 2x として、 (a) に代入して、以下の式が得られる。
　　1/(1 -2x) = 1 + (2t) + (2t)^2 + ...
収束範囲は、|2x| < 1, すなわち、-/1/2 < t < 1/2

2), 3) は、1)と同様にして得られる。

4) は、私にはうまい方法が分かりませんので、ちょっと別の知識を使います（テイラー展開を学んでいるから、いろんな関数の微分は知っている（学んでいる）と思います）。
　　d(tan^(-1) x)/dx = 1/(1 + x^2)
ですから、３）の結果を用いて
　　d(tan^(-1) x/dx = 3) の右辺。
したがって、この両辺を積分して、求める級数が得られます。
後は自分で計算してください。

この回答へのお礼

参考になりました！
ありがとうございました

お礼日時：2017/02/11 15:05