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級数Σa_n が絶対収束すれば、級数Σ(a_n)^2は収束することを示したいです。(nは1から∞)

対偶を使って証明したらいいのかとも考えましたが、どうもうまくいきません;;

どなたか教えてください。

gooドクター

A 回答 (3件)

Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので、


n>Nの時|(a_n)^2|≦|a_n|^2<|a_n|

上の式を使えば、Σ(a_n)^2が絶対収束することが示せると思います。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。

>Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので

この部分がなぜそうしてよいのかわかりません。
できれば解説のほうおねがいします。
(頭の悪い質問者ですみません;;)

お礼日時:2011/07/18 03:21

実数列が収束するための必要十分条件はコーシー列であることは知ってるとする。



級数Σa_nの絶対値級数の部分和数列をSn、級数Σa_nの部分和数列をVnとおく。

1 Snは仮定より収束する。従って、Snはコーシー列である。
2 Snがコーシー列ならば、Vnもコーシー列である。
3 従って、Vnは収束する。

本質的なのは第2項だけだが、そんなに難しくはない。
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>>Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので



>この部分がなぜそうしてよいのかわかりません。

Σa_n が絶対収束すれば、lim |a_n| = 0 だからです。


問題が解けたら、絶対収束を単にΣa_n が収束するだけの条件に弱めた場合にどうなるか考察しましょう。
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