級数Σ級na_nが収束するならΣa_nは収束することを示す問題で、行き詰っています!
以下は、私が考えた証明です。
Σna_nが収束するならば、lim(na_n)=0
⇔∀ε>0に対して、適当な番号Nがあって、n≧N⇒|na_n|<ε
|na_n|=n|a_n|より、
n≧N⇒|a_n|<ε/n
∴lim(a_n)=0
・・というところまで考えました。
その後、どうすればΣa_nも収束すると言えるのかがわかりません。
どなたか、お力を貸してください!
・・というか、この証明自体、最初から間違っていたり、なんてことがあったりしますか?
回答よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Σa_nが正項級数でなければ
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<|ma_(n+1)+・・・+ma_m|
も一般には成り立ちませんが、
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<m|a_(n+1)+・・・+a_m|
からなぜ
|a_(n+1)+・・・+a_m|<|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|
と言えるのですか?
この問題はそれほど簡単ではないようです。Σk・a_k の第n項までの部分和をs(n)として、Σ[k=n..m]a_k = Σ[k=n..m](1/k)k・a_k にAbelの変形を適用します。
Σ[k=n..m]a_k =(-1/n)s(n-1) + Σ[k=n..m](1/k(k+1))s(k) +(1/(m+1))s(m)
s(n)の極限をsとしたとき、恒等的に成り立つ関係式
0 =(-1/n)s + Σ[k=n..m]((1/k)-1/(k+1))s +(1/(m+1))s
を上の式から引き算すると
Σ[k=n..m]a_k
=(-1/n)(s(n-1)-s) + Σ[k=n..m](1/k(k+1))(s(k)-s) +(1/(m+1))(s(m)-s)
任意のε>0 に対し適当な番号Nをとるとk≧N⇒|s(k)-s|<εだからm>n≧Nのとき
|Σ[k=n..m]a_k|
≦(1/n)|s(n-1)-s| + Σ[k=n..m](1/k(k+1))|s(k)-s| +(1/(m+1))|s(m)-s|
≦(1/n + Σ[k=n..m](1/k(k+1)) +1/(m+1) )ε
するとΣ[k=1..∞](1/k^2)は収束するから
Σ[k=n..m](1/k(k+1)) <Σ[k=1..∞](1/k(k+1)) <Σ[k=1..∞](1/k^2)
より Σ[k=n..m](1/k(k+1))はある定数Kより小さい。
|Σ[k=n..m]a_k| ≦(1/n + Σ[k=n..m](1/k(k+1)) +1/(m+1) )ε
< (2 + K)ε
したがってΣa_k は収束。
No.4
- 回答日時:
この問題は
小松勇作「無理数と極限」(共立出版)p.162
の定理49.6もしくは定理49.7の応用と考えられます。なお解答には必要ありませんが、
Σ[k=1..∞](1/k^2) = ζ(2) = π^2/6
です。
三度の回答、本当にありがとうございます。
全く簡単に考えていたので、Abelの変形を使っていたところは驚きました・・
複雑な証明でしたが、親切な回答で、おおよそ理解することはできました。
本当にありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
#1の方の方針でやれば容易なので自分で考えてください
回答ありがとうございます。
テスト期間中で、パソコンを封印していたため、返信が遅くなりました・・。
以下が私の考える証明です。
∀ε>0をとる。
Σna_nが収束することから、
適当な番号Nをとって、m>n≧N⇒|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<mε
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<εについて、
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<|ma_(n+1)+・・・+ma_m|
=m|a_(n+1)+・・・+a_m|
よって、
|a_(n+1)+・・・+a_m|<|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<ε
すなわち、
|a_(n+1)+・・・+a_m|<ε
ゆえに、Σa_nは収束する。
・・いかがでしょうか?
No.1
- 回答日時:
>この証明自体、最初から間違っていたり
論理自体は間違ってないですけど、その方針だと証明できそうにないですね。
>Σna_nが収束するならば、lim(na_n)=0
ではなくて、
Σna_nが収束するならば、lim_{n,m→∞ (n<m)} na_n + (n+1)a_n+1 + … + ma_m= 0
(コーシー列)
ていうのからはじめるとよいと思います。
回答ありがとうございます。
テスト期間中で、パソコンを封印していたため、返信が遅くなりました・・。
以下が私の考える証明です。
∀ε>0をとる。
Σna_nが収束することから、
適当な番号Nをとって、m>n≧N⇒|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<ε
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<εについて、
|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<|ma_(n+1)+・・・+ma_m|
=m|a_(n+1)+・・・+a_m|
よって、
|a_(n+1)+・・・+a_m|<|(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m|<ε
すなわち、
|a_(n+1)+・・・+a_m|<ε
ゆえに、Σa_nは収束する。
・・いかがでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 微分可能 連続 わからない 3 2022/06/22 17:22
- 数学 関数列の収束について 次の問題を教えて欲しいです。 区間[0,1) の関数列fnと関数f(x)につい 1 2022/06/01 08:33
- 数学 解析学の問題です。 「正項級数は収束する、あるいは正の無限大に発散することを示せ。」 単調増加列はそ 2 2022/12/16 05:06
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 極限の問題で質問です。 lim[x->+0] x*(e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1) こ 3 2023/07/07 09:18
- 医学 活動電位について 1 2022/10/14 13:12
- 数学 無限等比数列 r^n の収束・発散の ε-N による証明 2 2023/02/07 13:35
- 数学 f(θ)=sinθ/cosθに関して、 f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展 4 2022/09/17 19:11
- 化学 現在解剖学を学んでいる学生です。 高校生の頃ナトリウムはNa、ナトリウムイオンはNa+と習った気がす 3 2022/12/18 23:38
- 数学 画像において、なぜk>1では絶対収束① k≦1でば条件収束②または発散する(正項級数an>0 ならば 15 2022/08/27 19:43
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報