積分で∫x/2^x はどうなりますか

∫x/2^x の計算の仕方が分かりません。
計算手順等、詳しく教えて下さい。よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/23 07:27

まず、準備をします(^^)

y=2^x
とします。
２を底とする対数に書き換えると
logy=x　　ただし、logの底は２だとします
左辺の底をeにします。つまり
logy = ln(y)/ln(2)　　ln は底がeの対数です
したがって、
1/(ln2) ・1/y ・dy = dx
ですね(^^)

ここで、
∫(1/2^x)dx を計算します。
t=2^x と置くと
∫(1/t)・1/(ln2)・1/t・dt = (1/ln2)∫(1/t^2)dt = －(1/ln2)・(1/t) = －(1/ln2)・1/2^x

じゃあ、質問の積分です(^^)
∫(1/2^x)dx が分かりましたので、部分積分より、
（与式）=x・{－(1/ln2)・1/2^x} + (1/ln2)∫(1/2^x)dx
=x・{－(1/ln2)・1/2^x} －(1/ln2)^2・1/2^x

計算ミスがあるかも知れませんので、確認してみて下さい(^^;)

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです
ありがとうございます

お礼日時：2017/04/23 18:17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/04/23 01:35

部分積分を 1回やる.