高校入試の数学の問題

Question

「１辺の長さが2cmの正方形を、添付した図のように１枚、２枚、３枚・・・と重ねて並べます。重なる部分が、１辺の長さが1cmの正方形になるように並べるとき、下の問いに答えなさい。」

問１　正方形５枚並べたときの周りの長さ（太線の長さ）を求めなさい。

問２　周りの長さが120cmになるのは、正方形を何枚並べたときですか、求めなさい

※以上の問題の解き方、考え方、解答をわかりやすく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願い申し上げます。

kairou · Accepted Answer

あなたは、どの様に考えたのでしょうか。
その中で、何が解らなかったのでしょうか。
本当はそれを書いて欲しかったのですが。

正方形１枚の場合は、周りの長さは、2×4＝8 で、8ｃｍですね。
では、２枚の場合はどうなりますか。３枚の場合は？
そこから規則性が見えて来る筈ですが。
以下を読まずに、チャレンジしてみて下さい。

１枚増えるごとに、４cm（２辺分）づつ増えていますよね。
と云う事は、n 枚になった時には、１枚の時より 4(n-1)㎝ 増える事になりますね。
問１：５枚の時は  8+4×4=24  で、 24㎝。
問２：8+4(n-1)=120 を解いて、n=29 で、29枚。

sc348253 · Answer

3枚以降は、
最初と最後が6
真ん中が4   なので、
一般には、6・2+4(nー2)=4n+4=4(n+1)  なので、

1)  n=5  を代入すればいいので、4(5+1)=24 cm
2)  120=4(n+1)  ∴ n=29  枚

banzaiA · Answer

1枚…８㎝　２枚…12㎝　3枚…16㎝
一般的に、基本4㎝に、１枚増えるごとに4㎝ずつ増える。
問１
　５枚の時は、基本4㎝に、５×４㎝＝20㎝増える。つまり、4㎝＋20㎝＝24㎝　答24㎝　
問２
基本4㎝に、116㎝増加すると120㎝になる。
１枚増加につき４㎝増加するのだから、116㎝は（116÷4＝）29枚分の増加である。　答29枚

bilateraria165 · Answer

４枚目を考えたときに３枚目との違いを実際に図に書いてみてください。
一番下と一番上の正方形と、それらに挟まれた正方形とで太線になる範囲が違うことがわかると思います。

3枚のときについて具体的に求めると、
①一番下と一番上の正方形の太線のそれぞれの長さ
　2+2+1+1=6(cm)　※これが2つ分
②真ん中（一番下と一番上以外）の正方形の太線の長さ
　2+2=4(cm)
①②から
6×2+4=16(cm)
となります。
2枚では②が4×0のとき。4枚では②が4×2のときです。

上記を一般的に書くと、a枚（aは2以上の整数）の場合、
6×2+4×(a-2)=4a+4(cm)・・・③
となります。これを踏まえて、問１・問２は以下のようになります。

問１
a=5を代入します。
4×5+4=24(cm)

問２
③=120として、aについて解くことになります。
4a+4=120
→ a=29(枚)

余談ですが、③はa=1のときの正しい答えになります。
これは考え方を変えて、（全ての正方形の周りの長さの合計）ー（全ての重なった部分の正方形の周りの長さの合計）とすると同じ式が得られます。
※ここでは考え方のわかりやすさを優先して、上記のように解説しました。

むらさめ · Answer

2枚並べると、1辺1cmの正方形分の周(1cm×4辺=4cm)が少なくなる。
(2cm×4辺)×2枚-(1cm×4辺)×(重なった部分=2枚-1)
=8×2枚-4×(2枚-1)
一般化すると
周の長さ=8×n枚-4(n枚-1)

問1　5枚の場合　n=5
8×5-4×(5-1)=40-16=24cm　答え　24cm

問2　周120cmの時何枚か
120=8n-4(n-1)
120=8n-4n+4=4n+4
116=4n　→　n=29　答え　29枚

1枚2枚3枚と重なっていた図をみて、周の長さがどのように増えていくのか、その式を立てられるかが問われています。

高校入試の数学の問題

あなたは、どの様に考えたのでしょうか。

3枚以降は、

1枚…８㎝ ２枚…12㎝ 3枚…16㎝

４枚目を考えたときに３枚目との違いを実際に図に書いてみてください。

2枚並べると、1辺1cmの正方形分の周(1cm×4辺=4cm)が少なくなる。

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