Aが開集合であるための必要十分条件

Aが開集合であるための必要十分条件は
A∩∂A=φ
であることを示せ。

という問題で、解説に
AがA∩∂A=φをみたす集合とする。R^2のすべての点はAの内点か外点か境界点かのいずれかである。
いまAの任意の点aをとると、aは∂Aに属さないという仮定から境界点でない。

とあるのですが、「R^2のすべての点はAの内点か外点か境界点かのいずれかである」とはどういう意味ですか？ ここはよくわからないです。

次の「Aの任意の点aをとると、aは∂Aに属さないという仮定から境界点でない」というところはAと∂Aの共通の要素はないからaは∂Aに属さないという解釈で合っていますか？
ここで言っている仮定とはA∩∂A=φのことですよね

質問が多いと思いますがどうか回答よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• ∂AはAの境界点の全体です。すなわちAの境界です。
  φは空集合です。

    補足日時：2017/05/30 00:17

No.3 ベストアンサー 回答者： UFCKY 回答日時： 2017/05/30 13:12

R^2ですから、紙に円を描いて、

内側が内点、外側が外点、線上が境界点と考えて頂ければ良いかと思います。

その次の質問はおっしゃっている通りかと思います。

この本で開集合をどの様に定義されているのかが明記されていると、
回答がしやすいかもしれません。

この回答へのお礼

よく考えてみると当たり前ですね
初めて学ぶ分野はいつもこうなってしまいます笑

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/30 19:03

No.2 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/30 00:35

A が開集合ならば A ∩ ∂A = Φ

A ∩ ∂A = Φ ならば A が開集合

と言えれば必要十分を満たしていると考えるんですよね？

A が閉集合ならば A ∩ ∂A = ∂A になるんでしょうか。

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/30 00:14

∂ は ￢ と同じですか？

Φ は空集合ですか？

A が閉集合なら、境界は A に属し、かつ、￢A にも属するとしたら、境界のみが共通になるのかもしれません。

それならば、A が開集合なら、境界は A にも、￢A にも属さないので、共有するところがない、という意味でしょうか。