lim[ｘ→∞]xとlim[ｘ→∞]x＾2の大小

lim[ｘ→∞]xとlim[ｘ→∞]x＾2を行ったときどちらも無限大に発散しますよね？同じ無限大に発散するのにどうしてlim[ｘ→∞]x＜lim[ｘ→∞]x＾2となるのでしょうか。ご存知の方教えてください。

No.10 ベストアンサー 回答者： hpsk 回答日時： 2004/09/13 09:32

#3=#7です。

三たび失礼します。

>> #8さん
> lim[x→∞]のxの値は完全に同じ値として扱っている
>> #9さん
> この考えの延長線上にあるのが、
そのような場合は、
lim[x→∞] (x^2 - x) > 0
と書くべきであって、
lim[x→∞]x < lim[x→∞]x＾2
は、全く別の事を言っています。
そもそも、「任意の数より大きな数」を無限大と呼んでいるわけですから、この式を認めてしまうと、lim[x→∞]x
は無限大と言えなくなってしまいます。
結局、#6さんの仰るように「無限大どうしの大小は比較できない」のです。

発散のスピードを評価するときにはランダウの記号というものがよく使われます(これを詳しく説明すると話がズレてくるので、参考URLをご覧ください)。
問題になっている式がそのことを意図してたのだとすれば、やはり記法がおかしいです。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3% …

No.13 回答者： jmh 回答日時： 2004/09/14 04:58

いろいろな説があって混乱するかもしれませんが、とりあえず…、

lim ｘ ≦ lim ｘ＾２ と言うのは正当化ができます。「＋∞に収束する」と考える方法があります（実数に±∞という元を付け加えたモノに位相を入れます）。
lim ｘ ＜ lim ｘ＾２ を正当化する方法は知らないです。

この回答へのお礼

やはりlim[ｘ→∞]x＜lim[ｘ→∞]x＾2ということはいえない、と思いました。皆様の助言から様々なことを学べました。この場を借りてお礼申し上げます。ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/18 12:15

No.12 回答者： kiriburi 回答日時： 2004/09/14 01:46

無限大の定義は#10の回答にあるように「任意の数より大きな数」です。

lim[ｘ→∞]x=∞
lim[ｘ→∞]x^2=∞
どちらも「任意の数より大きな数」ですので大小は言えません。
もちろん、等しいとも言えません。

No.11 回答者： jmh 回答日時： 2004/09/13 14:13

lim ｘ ≦ lim ｘ＾２ ではなくって？

No.9 回答者： sat000 回答日時： 2004/09/13 05:23

数学は専門ではありませんが、limというのは極限値であり、x→∞というのは、xを限りなく∞に近づける操作のことです。

つまりx=∞を代入することとは違うのです。
無限大よりも少し小さい有限の数を想像してみてください。
その数を例えばaとしましょう。
この時、a<a^2ですね。
この考えの延長線上にあるのが、lim(x→∞)xとlim(x→∞)x＾2です。
数学の表現上、lim(x→∞)x<lim(x→∞)x＾2と書いて良いのかどうかは忘れましたが、概念的には正しいと思います。
なお、#6の方の発散が早いという表現も真だと思います。

No.8 回答者： Rossana 回答日時： 2004/09/13 02:17

kazaana017さんご自身が言われるように通常∞という表記はしっかりとした値ではないため，不確かさを持っています．

しかし，この不等式の場合，lim[x→∞]のxの値は完全に同じ値として扱っていると解釈すべきでしょう．

No.7 回答者： hpsk 回答日時： 2004/09/12 20:44

#3です。

どうも嘘ということで良さそうですね。

> #4さん
一般に、
lim[]f(x) - lim[]g(x) = lim[] (f(x)-g(x))
としてよいのは、lim[]f(x)とlim[]g(x)が、それぞれある値に収束する場合のみです(教科書などをちゃんと読めばそう書いてあるはずです)。
同様の理由で、#5さんの理屈も成り立たないはず。

#2さんの議論も、これはあくまでxをある値に固定した場合の議論であって、xを無限大にとばした場合には成り立ちません。

No.6 回答者： graduate_student 回答日時： 2004/09/12 20:24

こんばんわ.

lim[ｘ→∞]x＜lim[ｘ→∞]x＾2←このような比較はできません.

これはおそらく「速さ」のことだと思います.
∞に発散する速さはlim[ｘ→∞]x＾2の方がlim[ｘ→∞]xよりも速いです.
これのことを言っているのではないでしょうか？

No.5 回答者： k-katou 回答日時： 2004/09/12 19:51

両方ともlim［x→∞］であるんなら、割り算にして調べりゃいいんじゃないですか？これなら割り算でできそうだし、出来なくてもロピタルでできそうだし…。

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/09/12 18:45

lim[x→∞]x^2-x > 0

だから？