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No.4
- 回答日時:
四角形の 4 辺の長さと, 対角線のなす角が与えられても, 対角線の長さの積が一意に定まるとは限らない.
分かりやすい例として...
1 辺の長さ 1 の正方形と, 1 辺の長さ 1 で内角の 1 つが π/3 のひし形で考えてみるといい.
そもそも, 質問者が知りたいのは対角線の長さであって, 対角線の長さの積ではない.
No.3
- 回答日時:
図のように四角形ABCDの対角線の交点をE交わる角度をθ
また、各辺の長さをa~hとします。
Eを1つの頂点とする4つの三角形がありますが、それぞれで余弦定理をもちると
△AEDから左回りに
cosθ=(h^2+g^2-d^2)/2hg・・・①
cos(180-θ)=((h^2+e^2-a^2)/2he・・・②
cosθ=(e^2+f^2-b^2)/2ef・・・③
cos(180-θ)=(f^2+g^2-c^2)/2fg・・・④
①からgcosθ=(h^2+g^2-d^2)/2h・・・⑤
②からecos(180-θ)=((h^2+e^2-a^2)/2h…⑥
⑤-⑥から
(g+e)cosθ=(g^2-e^2+a^2-d^2)/2h
2h(g+e)cos=(g^2-e^2+a^2-d^2)…⑦
③からecosθ=(e^2+f^2-b^2)/2f…⑧
④からgcos(180-θ)=(f^2+g^2-c^2)/2f…⑨
⑧-⑨から
(e+g)cos=(e^2-g^2-b^2+c^2)/2f
2f(e+g)cos=e^2-g^2-b^2+c^2・・・10
⑦+10から
2(e+g)(f+h)cosθ=a^2-b^2+c^2-d^2
⇔2AC・BDcosθ=a^2-b^2+c^2-d^2
このような関係式が得られました。
つまり、四角形の4辺の長さと対角線のなす角がわかっている時、対角線の長さの積は求められそうです。
なお、計算ミスなどがあるかもしれません。ミスがあれば指摘してください。

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