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仕事場で、たわいもない話から正七角形って書けるか書けないかで、論争になっています。書けるのならその証明方法も教えて下さい?

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A 回答 (11件中1~10件)

既に同趣旨の質問があり,


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います.

通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は,
四則と平方根であることがわかっています.
したがって,正n角形(半径1の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは,
一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています.
別の表現では,複素数 z に関する方程式 z^n = 1 の解が四則と平方根で書けるか
どうかと言うこともできます.
nが大きくなれば3乗根,4乗根,...が必要になりそうですね.
大体そうなのですが,たまたま平方根(2重根号,3重根号,...でもOK)+四則
だけで表現できる場合があって,それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの
話です.
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この回答へのお礼

皆さん、ありがとうございました。いろいろな意見をプリントして、持っていってみます。

お礼日時:2003/04/27 08:54

18世紀から19世紀にかけて活躍した、ドイツの数学者ガウス(Johann Carl Friedrich Gauss, 1777.4.30~1855.2.23)は、定規とコンパスで作図できる正p角形(pは、素数)は、


 p=2^2^n+1, n=0,1,2,…
という形をした素数に限られることを証明しています。このことから、定規とコンパスで作図することができる正多角形は、xを
 x=2^n×3^a×5^b×17^c×257^d×65537^e…, n=0,1,2,3,…, a,b,c,d,e,…=0,1
という形をした自然数xとして、正x角形に限られることになります。定規の代わりに、目盛付き定規を用いれば、正7角形や正9角形が作図可能になります。

参考URL:http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …
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正5角形なら、1辺1の場合、対角線が、(√5-1)/2ということを知ってれば、まずその長さを作ってから、かけます。




正7角形の場合も、対角線の長さがわかれば書けると思います。
具体的には、正7角形ABCDEFで、1辺1とした場合の、ACの長さがわかれば書けます。たとえ、ややこしいルートがたくさんある式でも、定規とコンパスで書けます。sinとかcosとかが入るとだめですが。
で、ACの長さっていくらになるんでしょ。
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正五角形の作図は昔は中学の技術で習いました。


今でも教えているかどうかは知りません。

正七角形は作図できません。

ところが正17角形が作図できることは有名です。
実際に自分が書き方を知っているかどうかは別です。

「2^(2^m)+1の形の素数のときはできる」という
ことが発見されています。

下のURL

参考URL:http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …
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まず、ルールですが、


定規とコンパスだけを使うということですね。だから、
分度器は使わない。それから、定規の目盛りも使いません。

で、確かに正7角形はかけません。でも、正5角形はかけたと
思います。近似でなく。

今、yahooで検索してみました。「正多角形、定規、コンパス」
で、やっぱり画けるみたいです。

参考URLをご覧下さい。

以上

参考URL:http://web2.incl.ne.jp/yaoki/takaku.htm
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↓#5ですが、ちょっと頓珍漢な答えをしてしまいました。

気にしないで下さい。
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360度を7では割り切れない(商 51.428571…)ので、正確には描けないと思います。

だいたいでよければ描けますが。
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理論上はかけないと思いますが、


実際には「書ける」といったレベルでしょうか(笑)
厳密にはかけていないでしょうけど・・・

URLに書き方が書いています。

参考URL:http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/mechdesign/ch0 …
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正七角形は書けません。



ただ、疑問に思ったのですが、正五角形は書けるという事になっているのでしょうか?
書けると言っている人は分度器を使っている可能性があります。図形を図示する際の道具に分度器はルール違反の様な気がします。
基本的に使っていいものは直線が描ける定規(目盛りなし)とコンパスだけです。(ギリシャの三大作図問題)
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出来ないらしいです


http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …

ですが
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaii/h …
近似図形はこんな感じでかけるらしいです
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