数学円前回質問させて頂きましたが理解しきることができなかったので再度質問させて頂きます。異なる

Question

数学 円

前回質問させて頂きましたが理解しきることができなかったので再度質問させて頂きます。
異なる3点から定点Oまでの距離がそれぞれ等しいとき、その3点を通る円の中心は定点Oになります。しかしなぜそうなるのか、どうしても理解できません。
自分は円は平面上の定点Oからの距離が等しい点の集合でできている曲線であるから、この曲線上(円周上)のどの位置からでも定点Oまでの距離は等しいということは理解しています。しかし、ただ異なる3点から定点Oまでの距離がそれぞれ等しいだけ(全ての点から定点Oまでの距離がそれぞれ等しいとはいってないのに)で、3点を通る円の中心がOであること(3点を通る円周上のどの位置からでも定点Oまでの距離が等しい)ことがわかってしまうのが理解できません。
どなたか解説して頂けるとありがたいです。(まとまりのない文ですみません。)

masterkoto · Accepted Answer

図のように異なる3点ABCそれぞれから等しい距離に点Oがあるとします。
（ABCの配置によっては、三角形ABCの外部にOがある場合もありますが、以下の説明でカバーしています。また、3点から等しい距離にある点は１つしか存在し得ません。A、Bから等距離にある点の集合がOP上で、A、Cから等距離にある点の集合がOR上だから、A、B、Cから等距離にある点は直線OPとORの交点1点のみという事になります。⇒直感的にはこれだけで質問の解決になっていると思います。）

さて、△OABは2等辺三角形だから、OからABに垂線OPを引くとOPはABの垂直2等分線。
（∵△OAP≡△OBP)
同様にOQ,ORはBC、CAの垂直2等分線。
三角形にはそれに外接する円が存在するものなので、AB,BC、CAは外接円の弦で、
OP,OQ、ORはそれぞれこの外接円の弦の垂直2等分線
円の弦の垂直2等分線は円の中心を通るから、異なる３つの弦の垂直2等分線の交点Oは外接円の中心ということになるはずです。
すなわち、異なる3点から定点Oまでの距離がそれぞれ等しいとき、その3点を通る円の中心は定点Oになります。

masterkoto · Answer

no４~7の回答で直感的には、異なる三点を通る円は一つしか存在しないと思えるはずですが（これらの、考え方を正確な形式で記述すれば、証明になっていると思います。）、そうはいかないようならば、以下の用に考えてみてはいかがでしょうか。

異なる３点があれば、正弦定理が成り立ち
異なる３点がつくる、三角形の外接円の半径はただ１つに決まります。
→異なる三点を通る円の半径の大きさはただ１つで、残る問題は中心がただ１つに決まるかどうか。
仮にその半径をrとすれば、この半径ｒの外接円をスライドさせて少しでもずらせば、３点のうち、この円周上には乗らない点が出来てしまう。
→、半径ｒの円の中心もただ１つしかない
ゆえに、異なる三点を通る円は一つしか存在しない
というように。

kairou · Answer

＞異なる三点を通る円は一つしか存在しないことを証明していただけないでしょうか。

Ｎｏ５ です。
私の回答の中で、その件も説明した筈ですが、書き方が悪かったでしょうか。
「平面上の3点を A,B,C とします、」と書いたのですが、
正確には「A,B,C は同一直線上に無いものとする。」と云う条件が必要でした。
で、A,B 及び B,C から等距離にある点は、説明に書いた通り 1点 しかありませんから、
3点から等しい距離にある点は、1つしかありません。

Ｎｏ６ の方も 同じ趣旨の回答をしていますが、納得できませんか。
（二つとも、あなたが補足質問するより、前の時間の投稿ですが。）

kairou · Answer

平面上の1点から等距離にある点の集まりは、円になる事は解りますね。
では、2点から等距離にある点の集まりは、何でしょうか。
その2点を結ぶ線分の 垂直二等分線 になりますね。

平面上の3点を A,B,C とします、
A,B から等距離にある点は、線分ＡＢの 垂直二等分線 です。
B,C から等距離にある点は、線分ＢＣの 垂直二等分線 です。
平行でない直線は、1点で交わります。（2点以上で交わることはありません。）
つまり、上に書いた二つの垂直二等分線は、1点で交わりますから、
その交点は、A,B,C 夫々から等距離にある事になります。
言い換えれば、その交点を中心とする円周上に A,B,C がある事になりますね。

尚、任意の4点以上から等距離にある点は、特殊な場合を除いて存在しませんから
誤解の無い様にして下さい。

diff3356 · Answer

平面上の円周を表す方程式はすべて、
x^2+y^2+ax+by+c=0.
の形に書けます。したがって、一直線上にない異なる３点の座標を(*)に代入して、ただ１組の(a, b, c) が得られ、円周は１つに決まります。

S.virtue · Answer

異なる何点でもいいですけど定点０まで同じ距離ですよね。
定点０から同じ距離に点をあらゆる方向につけて行ってください。
いずれ点は繋がり円になります。

定点０から距離を固定させたら３６０度どこに点を打っても円上になります。

「定点Oまでの距離がそれぞれ等しいとき」
これが重要なのです。
異なる何点だろうが関係ありません。

こば爺エンジェル · Answer

カメラの三脚の仕組みを思い浮かべると簡単では？
３本の脚は一点でまとまっている。
３本の脚は1本でも長さが違えばまっすぐ立てられない。

おとんぼ · Answer

コンパスでかいたら？

数学 円 前回質問させて頂きましたが理解しきることができなかったので再度質問させて頂きます。 異なる

図のように異なる3点ABCそれぞれから等しい距離に点Oがあるとします。

no４~7の回答で直感的には、異なる三点を通る円は一つしか存在しないと思えるはずですが（これらの、考え方を正確な形式で記述すれば、証明になっていると思います。

＞異なる三点を通る円は一つしか存在しないことを証明していただけないでしょうか。

平面上の1点から等距離にある点の集まりは、円になる事は解りますね。

平面上の円周を表す方程式はすべて、

異なる何点でもいいですけど定点０まで同じ距離ですよね。

カメラの三脚の仕組みを思い浮かべると簡単では？

コンパスでかいたら？

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