完全定数分離か、部分定数分離か

「0≦x≦4のすべての実数xの値に対して$ x^2-2ax+2a+3>0$が成り立つような実数aの範囲を求めよ」という問題に対して、

(Ⅰ)部分定数分離による解法
x^2-2ax+2a+3>0 ⇔ x^2+3>2a(x-1)
よって、0≦x≦4で、y=x^2+3が、常に直線y=2a(x-1)より上にある条件を求めればよい。

y=2a(x-1)は点(1,0)を通り、傾き2aの直線。直線が(0,3),(4,19)を通るとき、傾きはそれぞれ2a=-3,19/3。
また、放物線と直線が接するのは、x^2-2ax+2a+3=0の判別式をDとして、(D)/4=a^2-(2a+3)=0 ⇔ a=-1,3⇔ 2a=-2,6のとき。
6<19/3であることとグラフ(図A)より、求めるaは、
-3<2a<6 ⇔ -3/2<a<3

(Ⅱ)完全定数分離による解法
x^2-2ax+2a+3>0 ⇔ x^2+3>(2x-2)a
x=1は与不等式を満たす。
x≠1のとき，f(x)=(x^2+3)/(2x-2)とおいて、
f(x)<a（0≦x<1）,f(x)>a（1<x≦4）
が成立するようなaの範囲を求めればよい。

y=f(x)とy=aを図示する。
f'(x)=(2x*(2x-2)-2*(x^2+3))/(2x-2)^2=(2(x+1)(x-3))/(2x-2)^2
f'(x)=0のとき，x=-1,3
増減表は以下のようになる。（略）
$lim(x→1-0)f(x)=-∞,lim(x→1+0)f(x)=∞に注意してグラフを書くと，図Bのようになる。
よってグラフより，　-3/2<a<3

子供の塾では、「理系なら(Ⅱ)（完全定数分離による解法）を選択すべし」と教えるようなのですが、
(Ⅰ)部分定数分離による解法のほうが理解しやすいし、簡単に感じる。

(Ⅰ)部分定数分離
　と
(Ⅱ)完全定数分離
は受験数学的に、「どのような場合に、どちらの解法を選んだらよいとか」の判断基準ありますでしょうか？

私個人としては
「定数×1次式＝整式」と変形できる場合には、部分定数分離
「定数＝整式　あるいは　分母分子が1次までの分数式」と変形できる場合には、完全定数分離
あたりが妥当な線かな？と感じている次第です。

このあたりについて、ご案内の方がおられましたらよろしくご教示くださいませ。。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2018/05/26 20:25

まぁ、あなたの好みに応じて好きなようにやればいいけど、例えばこの画像のような問題（2013年の東大理系の問題）だと、

「定数×1次式＝整式」と変形はできないし、かつ、「定数＝整式　あるいは　分母分子が1次までの分数式」と変形もできない。

で、
ax=(cosx)/x - sinx　①（部分定数分離？）
と考えるか、
a=(cosx)/x² - (sinx)/x　②（完全定数分離？）
と考えるか、２つの方法があるけど、①よりも②の方がはるかに簡単。

いずれにせよ、あなたの場合分けのどちらにも当てはまらないときはどうするのか、という問題が生じるので、
全く押し付けるつもりはないけど、（理系なら）まずはノータイムで完全定数分離を選択し、それだとややこしく
なりそうなら、仕方なく部分定数分離を選択、というのをお勧めしますがね。

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

確かに、
＞「定数×1次式＝整式」と変形はできないし、かつ、「定数＝整式　あるいは　分母分子が1次までの分数式」と変形もできない。
ケースは大いにありますね。

この問題だと、完全定数分離せざるを得ないですな～

くるしいけれど、「まずはノータイムで完全定数分離を選択し、それだとややこしくなりそうなら、仕方なく部分定数分離を選択」
を理系の進むべき道として選択します。。

それと、さすがに、東大は難しめな問題を出しますね。
具体的な問題まで、ご提示いただきありがとうございました。

お礼日時：2018/05/26 21:40

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/05/26 07:47

私の場合、全く逆で、「理解しやすいし、簡単だし、頭を使わず機械的に計算（微分等）をするだけ」なので、

まずは、常に完全定数分離を選びますね。

部分定数分離のように、「何かの曲線（本問の場合は放物線）と傾きが0でない直線」の上下関係を考える
というのは、勘違いしやすい。特に、対象となる曲線や傾きが0でない直線がいろいろ変化する（本問の
場合は、aの値によって直線の傾きが変わる）のは勘違いしやすい。

完全定数分離をして、一方を定数（つまり、傾きが0の水平直線）にしてしまえば、勘違いすることはない。
しかも、分離された側は、一つの確定した曲線であり、微分という単なる機械的な計算で（確定した）形状が判ってしまう。

まず常に完全定数分離でやってみて、微分したら汚くなりすぎるとかの問題が生じたら、仕方なく部分定数分離
でやる、という方法の方が得点しやすいと思います。

この回答へのお礼

お二方とも、丁寧なご教示ありがとうございました。

私なりに両解法の長短所をまとめると、

(Ⅰ)部分定数分離
長所：微分しなくてよい。
短所：接する条件と、端点を通る条件を比較する必要がある。

(Ⅱ)完全定数分離
長所：グラフ解釈が容易。
短所：分数関数の微分計算が発生すること多し。今回のように定義域内に不連続点があると、不等号が逆転する（→後者については、不連続点をもつグラフ形が脳内想定できるなら短所とは言えないかも？）

結局、定数=整式になるなら、完全定数分離しかない。
しかし、定数＝分数式となった場合、上記2種類の長短所を勘案して解法選択する。

以上より、個人的には
・「定数×1次式＝整式」と変形できる場合には、部分定数分離
・「定数＝整式　あるいは　分母分子が1次までの分数式」と変形できる場合には、完全定数分離
かな～、と現時点では感じている次第です。。

お礼日時：2018/05/26 20:04

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2018/05/26 02:17

私なら「本番（＝時間に制約がある）」なら

主さんと同じ理由（理解しやすいし、簡単）で（Ｉ）を選びますかね。

自習等で時間があれば
"「導関数→増減表」のトレーニング”とか
"（理解を深めるための）寄り道"という意味で
（Ⅱ）の解法でも解いてみようとは思いますが。

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

私は(I)一択かと思っていたのですが、
塾の先生に「理系なら完全定数分離！」といわれると、「そ、そぅなんですか！！」と思うし、
そうはいっても、部分定数分離のほうが手堅い解法かな～とも思うし、

と惑う心境です。。

お礼日時：2018/05/26 19:48