場合の数、組合せ、最短経路の数 数学

(3)Pを通らないで

Pを通る場合の道順は(5!/2!3!)^2ですが、なぜ2乗するのでしょうか？


(4)
Qを通る道順 7!/3!4!×3!/1!2!ですが、

なぜ3!/1!2!を掛けるのでしょうか？

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/06 16:00

(3)Pを通らないで

Pを通る場合の道順は(5!/2!3!)^2ですが、なぜ2乗するのでしょうか？
Pを必ず通ってBにゆくので、最短の道順はPの左の交点までの道順は5!/2!3!通り。
Pの左の交点からPの右の交点への道順は１通り
Pの右の交点からBに行く最短の道順は5!/2!3!通り。
組み合わせの場合AからPへPからBへの行き方はそれぞれの道順の数の積になります。
よって、(5!/2!3!)^2です。
従って（３）の解は１１！/6!5!ー(5!/2!3!)^2です。
（４）
Qを通る道順は（３）で示したように
Qを必ず通ってBにゆくので、最短の道順はQの左の交点までの道順は７!/３!４!通り。
Qの左の交点からQの右の交点への道順は１通り
Qの右の交点からBに行く最短の道順は３!/１!２!通り。
組み合わせの場合AからQへQからBへの行き方はそれぞれの道順の数の積になります。
よって、７!/３!４!×３!/１!２!です。

組み合わせの解説：AからBまでｍ通りの道があって、BからCまでｎ通りの道があった場合、
　　　　　　　　　AからBまで１通りの道当たり、BからCまでｎ通りの道があります。
　　　　　　　　　AからBまでｍ通りの道それどれに、BからCまでｎ通りの道があるので
　　　　　　　　　AからCまでｍ×ｎの道があると言うことです。

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/06/06 13:25

座標とベクトルで考えるとわかりやすい！

上は、→y
右は、→x
とすれば、( 2,3)へは、(2+3)C2=5！/(3！・2！) ………(0)
そこで、Pを通り、( 3,3 ) までくれば、Bまでは、(0) と同じ組み合わせとなるから！

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/06 11:58

この問題ではスタートがAでゴールがBだから

3)Pを通るためにはｐのすぐ左隣の格子点（Aから右へ２上へ3の点）に来なければなりません。
その方法は(5!/2!3!)通り。
次にPを通過すると必ず右隣の格子点（Aから右へ３上へ3の点）に来ます。
この点からBへ行く方法は同じく(5!/2!3!)通り
よって求めるべき場合の数は(5!/2!3!)^2通り

4)
(3)と同様Qの左隣の点までが7!/3!4!通り
Qを通過後その右隣の点からBまでは3!/1!2!通り
あわせて7!/3!4!×3!/1!2!通り　　！＾＾