自然数に0は含むか？

Question

大学で、どのように書かれていたときが、自然数に0を含むのでしょうか？教えていただけると幸いです。自由に定義するということでしょうか？詳しく教えていただけると幸いです。

stomachman · Accepted Answer

No.6へのコメントについてです。

> 高校生や中学生は、0を含めない。という考え方で、大丈夫なのでしょうか？

0を含める流儀と含めない流儀がある、ということを知っている人は、必要に応じて「私がここで言う『自然数』には0を含めます／含めません」という断りを付けるべきだ、ということも理解したわけです。が、これを理解しているにも関わらず（高校生だから、中学生だから、という理由で）分かってない振りをしようってんですか？そりゃどうにも不思議な考え方だなと思います。

おそらく「高校生や中学生は、0を含めない。という考え方」を採るべきかどうかを心配なさるのは、自然数に0を含めるかどうかによって試験問題の答が違って来るようなときにどう対処すれば良いか、ということを想定なさっているのでありましょう。
　当然ながら、試験問題を作る側にとっては、自然数に0を含めるかどうかで答が違って来るような問題の場合には、0を含めるかどうかの区別を明示するか、あるいは「負でない整数」や「正の整数」のようなまぎれのない表現をするよう注意しなくてはならない。もちろんこれは、対象者が高校生・中学生だから、という話ではありませんで、誰にとっても紛らわしくないようにする必要がある。
　なので、自然数に0を含めるかどうかを心配しなくてはならないような問題はダメ問題です。たとえば、「2以下の自然数を全て答えよ」という問題に対しては、「『自然数』に0を含めるかどうかによって答が変わる。含めるとすると2, 1, 0である」という風に解答しておけば、×を付けようがない。

majimelon37 · Answer

日本語では、数をかぞえるのに、ひとつ、ふたつ、みっつと数えて、この数え方が自然に発生したので、自然数といいます。この中には0は入っていません。
高校生や中学生は、0を含めない。という考え方で、大丈夫でしょうか。＞
他の流儀もあることを知った上で、自分はこれを使っていると言えれば大丈夫です。
数学では、０をいれるかどうか、かならず定義した上で使うので、その定義をその都度確かめる必要がありますが、定義に従えばよいのです。

tknakamuri · Answer

wikipediaの説明は リキ が入ってますね。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/自然数

stomachman · Answer

流儀の問題。自然数に0を含める流儀で書かれている本も、含めない流儀で書かれている本も、どっちも沢山あります。国によって、あるいは歴史的な理由で、0を含めるのが普通という文化もあれば、含めないのが普通という文化もある。文化ってのは、誰がその話を聞くのかということによって異なるんであり、たとえば一般大衆向けの本では0を含めない方が説明を分かってもらいやすい。
　一方、数学や工学では0を含めるのが普通です。
　数学で「自然数の集合をNとする」とか言われたら、ほとんどの場合、0はNに含まれている。そして、特に何かの事情で「0を含めない自然数の集合」を使いたい、という場合には、それを"N+” (この+はNの右肩に小さく付ける）と表したり、あるいは N＼{0} (0を含めた自然数の集合Nから、0だけを取り除いたもの）という風に表すんです。

なお、自然数に0を含めることにしますと、
(1) 「いくつある」というだけでなく、「ない」ということを自然数で表せる。たとえば「福引きの景品が無くなったら終わり」ということを、「景品の残り個数が0なら終わり」と表現できる。
(2) 「自然数nと自然数mの違い」すなわち |n-m| が、 n=mの場合でも自然数になる。
(3) かけ算に n×c = nになるようなcが存在する(もちろんc=1です)のと同様に、足し算でもn+d = nになるようなdがある(もちろんd=0です)。
というようなちょっとしたメリットがある。

fxq11011 · Answer

０、、言葉で言い換えれば、「無い」ともいわれるのでは。
なければ、知ることもありません、それに対する何を表現する必要もありません、自然発生する必要ありませんね。

t_fumiaki · Answer

数論
整数およびそれから派生する数（有理数など）の性質について論ずる体系
n次方程式は、必ずn個の根を持つ、とか、aⁿ+bⁿ=cⁿを満たす整数a,b,cはnが2より大きい時には存在しない、とか、正17角形は定規とコンパスだけで作図出来る、とか、。
試すと中学生でも「そうなりそうだ」と解るが、証明が極めて難しいのが特長。

集合論
簡潔に言うと、「集合」で要素の数が無限個のものを扱う数学体系。
数学の底流をなし、集合論抜きでは現代数学は成立しない。

論理学
パッと言うのが難しい。A→B、B→C　ならばA→C。など、論推論について、正確にはどのようなものが正しい推論であるかを問う学問体系。
これも、無いと数学は成立しない。

goold-man · Answer

追加
ペアノの公理の定義
自然数は次の5条件を満たす。
1）自然数 0 が存在する。
2）任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3）0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4）異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5）0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ペアノの公理

goold-man · Answer

追加
集合論、論理学などでは0を自然数に含めます。（数論などでは含めない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/自然数

goold-man · Answer

自然数に整数0やマイナスがつく負の数は含まれない。
http://media.qikeru.me/自然数0/

自然数に0は含むか？

No.6へのコメントについてです。

日本語では、数をかぞえるのに、ひとつ、ふたつ、みっつと数えて、この数え方が自然に発生したので、自然数といいます。

wikipediaの説明は リキ が入ってますね。

流儀の問題。

０、、言葉で言い換えれば、「無い」ともいわれるのでは。

数論

追加

追加

自然数に整数0やマイナスがつく負の数は含まれない。

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