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運動量保存則と力学的エネルギー保存則の融合問題について。力学的エネルギー保存則を立式する時、運動量保存則で考えた物体系でエネルギー保存の式を立てるんですか?

A 回答 (1件)

運動量保存則は、ニュートンの運動方程式から直接導かれる「運動」に関する法則です。


これに対して、力学的エネルギー保存則とは、「保存力」に関するある2つの状態の間で成り立つものです。「エネルギー」に時間の概念は含まないので、時間経過に伴う状態の記述には対応しません。

ニュートンの運動方程式は、「力」と「運動」の関係を記述するもので、「運動」は「加速度」なり「運動量」で表わします。
つまり
 F = ma = m*dv/dt = d(mv)/dt = dp/dt   ①
で、「働く力が、運動量を変化させる」という関係式です。
「衝突」や「二体問題」(太陽系や惑星間など)のように「内力」だけで「外力が働かない」状態では F=0 なので、①より
 dp/dt = 0
つまり
 p = const
で「運動量保存」が成立します。
外力が働く場合には、「運動量保存(一定)」ではなく、きちんと「運動方程式」を立てて「運動量の変化」から運動の時間変化を記述します。

力学的エネルギーは、「保存力」に対しては保存しますが、「摩擦力」や「空気の抵抗」といった「非保存力」に対しては保存しませんので、現実の現象のほとんどでは成立しません。
なので、これを使う場合にはその成立性をきちんと確認する必要があります。
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運動量保存の法則とエネルギー保存の法則の使い分けを教えて下さい。
教科書の説明だとなんとなくしかわからないので、なるべく分かりやすく教えて下さい。

慣れれば自然と使い分けが出来るようになりますか?

Aベストアンサー

「使い分け」ではなく、全く違う法則です。

「運動量保存」は、物体の運動には本質的で常に成り立つもので、運動方程式そのものです。「外力が働かなければ、運動量は一定に保たれる」というものです。「衝突」や「太陽と惑星」のような「2体問題」では、2体どうしの内力のみが働き、外力は働かないので、運動量は保存します。

これを数式で説明すると、運動方程式は
 F = ma   ①
ですが、加速度は「微小時間中の速度変化」です。
 a = Δv/Δt
これを①に代入すれば
 F = mΔv/Δt = Δ(mv)/Δt
で、Δ(mv) は「運動量の変化」です。
ということで、外力が働かない F=0 のときには、Δ(mv) = 0 で「運動量の変化がない」=「運動量一定」になります。
つまり
・実際に外力が働く場合には、F≠0 なので、運動方程式①で物体の加速度を求めて運動のしかたを記述する。
・外力が働かない場合には、F=0 なので「運動量が保存される」ことから運動のしかたを記述する。
というのが、運動の問題を解く一般的な手法ということになります。

これに対して、「エネルギー保存の法則」は、熱や音・振動なども含めての「エネルギー保存」ですから、「摩擦は考えない」とか「空気の抵抗はない」とか「エネルギーのロスはない」という「理想的な、現実的にはあり得ない条件」でなければ成立しません。
たとえば、「衝突」であれば「完全弾性衝突」のときにしか成立しません。現実の衝突では、「ボールが縮んで歪み、復元力で戻ってボール表面に振動が生じる」とか「衝突で変形する」とか「衝突音がする」なので「運動に関するエネルギー」は保存しません。従って「運動を論じるときにいつでも使える」ものではありません。
そのような「エネルギーのロスはない」という特殊な条件が設定されたときに限り、「エネルギー保存の法則」を使った問題解決が可能になります。

「使い分け」ではなく、全く違う法則です。

「運動量保存」は、物体の運動には本質的で常に成り立つもので、運動方程式そのものです。「外力が働かなければ、運動量は一定に保たれる」というものです。「衝突」や「太陽と惑星」のような「2体問題」では、2体どうしの内力のみが働き、外力は働かないので、運動量は保存します。

これを数式で説明すると、運動方程式は
 F = ma   ①
ですが、加速度は「微小時間中の速度変化」です。
 a = Δv/Δt
これを①に代入すれば
 F = mΔv/Δt = Δ(mv)/Δt
で、Δ(mv) は...続きを読む


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