A 回答 (9件)
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No.1
- 回答日時:
PQ間が0であれば、その図より更に近いわけですよね。
じゃぁそのとき、PとQが交わっているが、PでのC₁の接線と、QでのC₂の接線と、傾きが違っていたらどうなります?
傾きが違うんだから、交点で2曲線がクロスしますよね。クロスした結果、PQより近いところ、距離がマイナスになるところができませんか?
マイナスは拙いってんでじゃぁそこを0にするように両曲線を少し引き離してみると、両接線の両接点での傾きは同じになってませんかね。
No.3
- 回答日時:
ですよねー。
まあいいや。感覚的な説明をします。まず、点と直線の距離について。点Pから直線lまでの距離は、Pからlに下ろした垂線の足をHとしたときのPHの長さですよね。(l上の他の点とPとの距離より、PHの方が短い)
二次関数上の点でもそれを考えてみます。曲線と曲線の距離というのはよく分からないので、次元を下ろして、点と直線の距離を使って考えます。
C1上の点PとC2上の点における接線lで考えます。Pからlに下ろした垂線の足をHとしたときのPHが、Pとlの距離ですが、このHがC2上にないとき、PとC2の距離は最小だとは言いたくないですよね?
でも、C2上の点Qにおける接線mとPQが垂直だったら、それはPとC2の距離だと言えるでしょう。
そして、逆にC1上の点Pにおける接線nとQPが垂直でもあってほしいです。
そう考えると、P、Qにおける接線が平行で、PQが垂直であるときに、C1とC2の距離が最小となるのもうなずけないでしょうか?
No.4
- 回答日時:
直感的には、P(またはQ)を偏微分的にほんの少し左右にずらすとPQ間の距離は必ず大きくなるからです。
もとの定義に従ってPもQも同時かつ自由に動かしてPQ間の距離の最小値を求めてください。前述の直感を計算で説明できるかもしれません。No.5
- 回答日時:
調べれば証明でてきそうですけどね。
あと、私も少し間違えましたが、C1、C2上の点の距離の最小についての定理のようですね。曲線C1と曲線C2の距離の話ではないです。
C1はC2固定して考えています。
証明分かったらまた書きます。
No.7
- 回答日時:
曲線C1,C2の位置ベクトルを、実数のパラメータt,sを用いて、それぞれr1(t),r2(s)とする。
内積を・で表すことにするとPQ^2=(r1(t)-r2(s))・(r1(t)-r2(s))とあらされる。PQ^2の極値を求めるにはt,sで偏微分したものを0とすればよい。してみると(r1(t)-r2(s))・d(r1)/dt=0、(r1(t)-r2(s))・d(r2)/ds=0が得られる。(r1(t)-r2(s))、d(r1)/dt、d(r2)/dsがすべて0ベクトルでないときはこれらの式はC1,C2の接ベクトルが並行でベクトルQPに直交していることを示す。No.9
- 回答日時:
no.8です。
解析学の入門書とのことですが、僕は詳しくないのでよくわかりません。ここでいう偏微分自体はそう難しく考えず、今の場合tで偏微分するといううことはsを固定しtに関係ない定数とおもってPQ^2をtで微分するという意味です。本のことは、だれか詳しい方にあらためてきいてください。お役に立てず申し訳ないです。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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