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なぜこのような図になる時曲線と曲線の距離は最小になるのでしょうか?

「なぜこのような図になる時曲線と曲線の距離」の質問画像

A 回答 (9件)

no.8です。

解析学の入門書とのことですが、僕は詳しくないのでよくわかりません。ここでいう偏微分自体はそう難しく考えず、今の場合tで偏微分するといううことはsを固定しtに関係ない定数とおもってPQ^2をtで微分するという意味です。本のことは、だれか詳しい方にあらためてきいてください。お役に立てず申し訳ないです。
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No.7 です。

偏微分を使わないで数式を用いて説明するのは、自分には今思いつかないです。
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この回答へのお礼

高校数学の知識で読み始められる解析学の入門書などありましたら教えて下さい。

お礼日時:2018/08/12 17:59

曲線C1,C2の位置ベクトルを、実数のパラメータt,sを用いて、それぞれr1(t),r2(s)とする。

内積を・で表すことにするとPQ^2=(r1(t)-r2(s))・(r1(t)-r2(s))とあらされる。PQ^2の極値を求めるにはt,sで偏微分したものを0とすればよい。してみると(r1(t)-r2(s))・d(r1)/dt=0、(r1(t)-r2(s))・d(r2)/ds=0が得られる。(r1(t)-r2(s))、d(r1)/dt、d(r2)/dsがすべて0ベクトルでないときはこれらの式はC1,C2の接ベクトルが並行でベクトルQPに直交していることを示す。
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この回答へのお礼

偏微分出来ないです…

お礼日時:2018/08/12 17:21

証明わかりませんでした。

というか私の回答が割と証明できてる気がする。役に立てなくてすみませんね。
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調べれば証明でてきそうですけどね。


あと、私も少し間違えましたが、C1、C2上の点の距離の最小についての定理のようですね。曲線C1と曲線C2の距離の話ではないです。
C1はC2固定して考えています。
証明分かったらまた書きます。
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直感的には、P(またはQ)を偏微分的にほんの少し左右にずらすとPQ間の距離は必ず大きくなるからです。

もとの定義に従ってPもQも同時かつ自由に動かしてPQ間の距離の最小値を求めてください。前述の直感を計算で説明できるかもしれません。
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ですよねー。

まあいいや。感覚的な説明をします。
まず、点と直線の距離について。点Pから直線lまでの距離は、Pからlに下ろした垂線の足をHとしたときのPHの長さですよね。(l上の他の点とPとの距離より、PHの方が短い)
二次関数上の点でもそれを考えてみます。曲線と曲線の距離というのはよく分からないので、次元を下ろして、点と直線の距離を使って考えます。
C1上の点PとC2上の点における接線lで考えます。Pからlに下ろした垂線の足をHとしたときのPHが、Pとlの距離ですが、このHがC2上にないとき、PとC2の距離は最小だとは言いたくないですよね?
でも、C2上の点Qにおける接線mとPQが垂直だったら、それはPとC2の距離だと言えるでしょう。
そして、逆にC1上の点Pにおける接線nとQPが垂直でもあってほしいです。
そう考えると、P、Qにおける接線が平行で、PQが垂直であるときに、C1とC2の距離が最小となるのもうなずけないでしょうか?
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この回答へのお礼

一般に成立する事を数式を用いて証明するのは難しいでしょうか?

お礼日時:2018/08/11 21:15

見えますかね…?

「なぜこのような図になる時曲線と曲線の距離」の回答画像2
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この回答へのお礼

見えません

お礼日時:2018/08/11 00:37

PQ間が0であれば、その図より更に近いわけですよね。


じゃぁそのとき、PとQが交わっているが、PでのC₁の接線と、QでのC₂の接線と、傾きが違っていたらどうなります?
傾きが違うんだから、交点で2曲線がクロスしますよね。クロスした結果、PQより近いところ、距離がマイナスになるところができませんか?
マイナスは拙いってんでじゃぁそこを0にするように両曲線を少し引き離してみると、両接線の両接点での傾きは同じになってませんかね。
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