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箱Aには赤玉が2個、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ、箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう1個が赤玉である確率を求めよ。
という問題の答えが分かりません。解説と共に教えて下さい。

A 回答 (1件)

2/3


箱Cは除外されるから、残りは赤か白。だから、ついつい1/2としてしまいそう。
有名な確率問題。

箱Aの玉を赤1、赤2としてみる。
箱Bの玉は赤3、白1としてみる。

赤球1個が出てる場合の、残りの場合を列挙して見ればわかる。

出ている赤が赤1 - 残りは赤2
出ている赤が赤2 - 残りは赤1
出ている赤が赤3 - 残りは白1

この3通りしか無い。
のこり3通りの中で赤は2通り

だから、2/3
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2018/09/20 21:36

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Q条件付き確率の問題について

「箱Aには赤玉2個、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ、箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ。」
 という問題について、
 1)まず、どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率:A
 2)そして選んだ箱の残りの玉が赤玉である確率:B
 として考えた時、
  1)P(A) = 1/3 X 2/2 + 1/3 X 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
  2)P(B)はつまり、1/2でA,Bの箱を選び、その箱がAであるのは、1/2
  よって、求める確率は1/4になるのではないかと思いますが、
 実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
 なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
 理由がわかりません。

申し訳ありませんが、詳しくご説明頂ける方宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

Aが起こったとして、Bの起こる条件付き確率は
P[A](B)=P(A∩B)/P(A)
です。
A が小さく書けないので、 [A] としています。

この問題では、
「 玉を1個取り出したら赤玉であったとき、
 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。 」
になるわけですが、

赤玉を取り出す事象を R
と、これはすぐにおくことができるのですが、

『 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である 』
というのは、
この箱の中には、 赤玉が 《 2個 》 入っていることになるので、 
言いかえると、
『 箱Aを選ぶ 』
ことになるのではないでしょうか?

なので、
箱Aを選ぶという事象を A
とすると、

これで、求める確率は
P[R](A)=P(R∩A)/P(R)
になります。

分母の P(R) は、 質問にもある計算で、
P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2 
であり、
分子の P(R∩A) は、
P(R∩A)=P(A∩R)=1/3×2/2=2/6=1/3 ・・・・・(★)
になります。

これから、
P[R](B)=P(R∩A)/P(R)=(1/3)/(1/2)=2/3
になります。

実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
理由がわかりません。

  ↓↓↓

P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
の式ですが、

箱Bを選ぶという事象を B、箱Cを選ぶという事象を C とすると、
1/3 × 2/2 は、箱Aの赤玉を取り出す確率 つまり P(A∩R)=P(R∩A) で、 ( ⇦ (★)印 )
1/3 × 1/2 は、箱Bの赤玉を取り出す確率 つまり P(B∩R) です。

Aが起こったとして、Bの起こる条件付き確率は
P[A](B)=P(A∩B)/P(A)
です。
A が小さく書けないので、 [A] としています。

この問題では、
「 玉を1個取り出したら赤玉であったとき、
 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。 」
になるわけですが、

赤玉を取り出す事象を R
と、これはすぐにおくことができるのですが、

『 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である 』
というのは、
この箱の中には、 赤玉が 《 2個 》 入っていることになるので、 
言...続きを読む

Q統計学わかる方 途中式、解説付きで教えてください。 今週中にはぴったりします。 ちなみに、答えは6で

統計学わかる方
途中式、解説付きで教えてください。
今週中にはぴったりします。
ちなみに、答えは6です。

Aベストアンサー

標準偏差の2乗が「分散」です。x の平均値を xbar と書きます。

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2

ということは知っていますよね?

これを使えば

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2 = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2 - 2xi*xbar + xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - (1/n)Σ[i=1~n]2xi*xbar + (1/n)Σ[i=1~n](xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + (1/n)n*(xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + xbar^2

第2項は
 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi = 2*xbar*xbar = 2*xbar^2

なので

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - xbar^2

ここで、第1項は「データの2乗の平均値」なので
  (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) = 2740

第2項は
 xbar^2 = 52^2 = 2704

なので

 分散 = 2740 - 2704 = 36

従って

 標準偏差 = √(分散) = √36 = 6


>今週中にはぴったりします。

この意味は何?

標準偏差の2乗が「分散」です。x の平均値を xbar と書きます。

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2

ということは知っていますよね?

これを使えば

 分散 = (1/n)Σ[i=1~n](xi - xbar)^2 = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2 - 2xi*xbar + xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - (1/n)Σ[i=1~n]2xi*xbar + (1/n)Σ[i=1~n](xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + (1/n)n*(xbar^2)
   = (1/n)Σ[i=1~n](xi^2) - 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi + xbar^2

第2項は
 2*xbar*(1/n)Σ[i=1~n]xi...続きを読む

Q統計学出来る方 なぜ、これが=になるのか教えてください。お願いします。

統計学出来る方

なぜ、これが=になるのか教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

xiと言うのは、1番目の値、2番目の値、3番目の値、・・・を一遍に表現したもの。

データが10個有ったら、10個全部足して10で割る、
データが20個有ったら、20個全部足して20で割る、


左辺をこれを一遍に表現したもの。

これって、平均の定義。
右辺は平均を表す書き方。

Q分かる人いますか?

信頼度について

コイントス(裏表の2分の1)をある方法で2600回投げたら55.8%で表になりました。

この55.8%という数字はどのくらいの信頼度がありますか?

数字で表せる人いますでしょうか?

Aベストアンサー

確率・統計を勉強すれば最初の方に出て来る基本問題です。

>この55.8%という数字はどのくらいの信頼度がありますか?

信頼度も何も、実際に観測されたものであれば「それは事実」です。それを「事実」として認めるところから議論が始まります。(「虚偽の記載」とか「でっち上げ」「改ざんデータ」なら、議論するだけ無駄です)
それが、「よくあること」なのか「めったに起こらない珍しいこと」なのか、どの程度珍しいことなのか(発生確率がどのぐらいか)、もしそれが「事実」ならそこから何が推測できるか、ということが質問の趣旨と考えます。

まず、コイントスで表の出る確率は「二項分布」します(「裏が出る確率」も同じく「二項分布」)。標準の確率 1/2 ずつで表裏が出るなら、「表の出る確率 1/2 の二項分布」です。
n 回投げて、表が r 回出る確率は
 P(n, r) = nCr * (1/2)^r * (1/2)^(n - r)

↓ 「二項分布」はテキストに載っていると思いますが、何ならこんなサイトを参照ください。
https://atarimae.biz/archives/7922

2600回投げれば、
・表の出る回数の期待値:E = np = 2600 * (1/2) = 1300 回
・表の出る回数の分散 :V = np(1 - p) = 2600 * (1/2) * (1/2) = 650
 → 標準偏差:σ = √V = √650 ≒ 25.5 回

2600回も投げれば、表の出る回数は正規分布するとみなせます。正規分布は下記のような特性です。
  平均値± σ の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
  平均値±2σ の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
  平均値±3σ の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_2_1.htm

上の結果を代入すれば
  1300 ± 25.5 回 の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
  1300 ± 51 回 の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
  1300 ± 76.5 回 の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る

ご質問の内容だと「2600回投げたら55.8%で表」ということなので
 ・表:1451回、裏:1149回
ということです。これは
  1300 + 151 回
つまり
  平均値 + 5.92σ
ということであり、標準正規分布表でこの確率を見てもらえば・・・、ああ、5σ (Z=5.0)以上は載っていない・・・。
5σ で「2.87 * 10^(-7)」つまり「0.000000287」「0.0000287%」なので、「あり得ないほど確率が低い事象」ということになります。「5.92σ」ならもっと小さいです。

↓ 標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

ということで、「2600回投げたら55.8%で表」ということは
(1) 極めて確率の低い、神業のような奇跡が起こった(確率的にゼロではありあませんから)。
(2) 最初に仮定した「確率 1/2 ずつで表裏が出る」というのが間違っていて、「表が出やすく加工された」いかさまコインであった。
(3) コイントスのやり方に何か問題があって、表・裏が均等に出るようなやり方ではなかった。表が出やすいやり方になっていた。
などということが推定できます。
「回数」だけのデータでは、ここから先は推定できません。

確率・統計を勉強すれば最初の方に出て来る基本問題です。

>この55.8%という数字はどのくらいの信頼度がありますか?

信頼度も何も、実際に観測されたものであれば「それは事実」です。それを「事実」として認めるところから議論が始まります。(「虚偽の記載」とか「でっち上げ」「改ざんデータ」なら、議論するだけ無駄です)
それが、「よくあること」なのか「めったに起こらない珍しいこと」なのか、どの程度珍しいことなのか(発生確率がどのぐらいか)、もしそれが「事実」ならそこから何が推測できるか...続きを読む


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