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数学A 組合せ

赤玉、青玉、白玉が5個ずつ入った箱から5個の玉を取り出す。取り出し方の組合せは何通りあるか。また、各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組合せは何通りあるか。

答えは順に21通り、6通り

解き方が分かりません。
解説お願いします。

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A 回答 (3件)

(1問目) 取り出し方の組合せ



5個の丸と2個の仕切り 〇〇〇〇〇|| を一列に並べる場合の数だけある。

2個の仕切りによって
赤|青|白
とすればよい。


例えば

〇|〇〇|〇〇  と並べれば  赤玉1個、青玉2個、白玉2個 を表し、

|〇〇〇〇|〇  と並べれば  赤玉0個、青玉4個、白玉1個 を表し、

〇〇〇||〇〇  と並べれば  赤玉3個、青玉0個、白玉2個 を表す。

なので
7C2=76/21=21 (通り)  

もしくは、
7!/5!2!=7・6・5・4・3・2・1/5・4・3・2・1・2・1=21 (通り)


=================================================================



(2問目) 各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組合せ

上と同じ考え方をすれば
まず、5個の玉のうち、3個の玉はそれぞれ赤玉、青玉、白玉にを1個ずつ振り分け、

残り2個の玉の取り出し方を考える。
つまり、2個の丸と2個の仕切り 〇〇|| を一列に並べる場合の数だけある。


例えば

〇|〇|  と並べれば  赤玉1個、青玉1個、白玉0個 を表し、初めに振り分けた1個ずつを合わせて  赤玉2個、青玉2個、白玉1個  を表し、


||〇〇  と並べれば  赤玉0個、青玉0個、白玉2個 を表し、初めに振り分けた1個ずつを合わせて  赤玉1個、青玉1個、白玉3個  を表す。

なので
4C2=4・3/2・1=6 (通り)   4!/2!2! でもよい




【 別解 】

5個の丸の間に2個の仕切りを入れる

〇 〇 〇 〇 〇
∧ ∧ ∧ ∧
1 2 3 4

仕切りは4か所の中から2か所選んで入れる

例えば
1と4を選べば  〇|〇〇〇|〇  となり  赤玉1個、青玉3個、白玉1個  を表し、

3と4を選べば  〇〇〇|〇|〇  となり  赤玉3個、青玉1個、白玉1個  を表し、

2と3を選べば  〇〇|〇|〇〇  となり  赤玉2個、青玉1個、白玉2個  を表す。


なので
4C2=4・3/2・1=6 (通り)


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1問目と2問目は0個もO.K.なのか、ダメなのかに気をつけること。

2問目は自分の解きやすい方法で解けばよい。
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この回答へのお礼

助かりました

別解と図がわかりやすく
ありがとうございました。

お礼日時:2017/11/05 13:35

N0.1さんとは別な考え方にて回答します。



5個の玉の数を色別に分けてみる。ここで,どの色かは考えない。

5(例えば赤5個)
4-1(例えば赤4個白1個,以下省略)
3-2
3-1-1
2-2-1

5は3通りは良いですよね

4-1は3種類から順列ありで,3P2なので,6通り 書き出せば赤-白,赤ー青,青ー赤,青ー白,白ー赤,白-青。

3-2も同6通り

3-1-1は1つだけ3個なので3通り

2-2-1も同じく1つだけ1個なので3通り。

以上21通り。

2つ目の問いはすでに記載してあるとおりで,6通り。
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この回答へのお礼

助かりました

別の考え方をありがとうございました。

お礼日時:2017/11/05 13:33

同じ色の球は区別しません。

赤玉をR、青球をB、白球をWとして考えます。

Rの個数によって場合分けします。

1)5個
RRRRR
2)4個
RRRRW、RRRRB
3)3個
RRRWW、RRRWB、RRRBB
4)2個
RRWWW、RRWWB、RRWBB、RRBBB
5)1個
RWWWW、RWWWB、RWWBB、RWBBB、RBBBB
6)0個
WWWWW、WWWWB、WWWBB、WWBBB、WBBBB、BBBBB

よって、1+2+3+4+5+6=21となり、21通り。

各玉が1個以上ある→R、W、Bが1個以上含まれる組み合わせより、

上を見ると、RRRWB、RRWWB、RRWBB、RWWWB、RWWBB、RWBBBの6つです。

よって、6通り。
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この回答へのお礼

助かりました

一つの参考とさせていただきます。
ありがとうございました

お礼日時:2017/11/05 13:32

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