赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個の玉を机の上に円形に並べる。 円順列は何通りあるか？ 中間試験勉

赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個の玉を机の上に円形に並べる。
円順列は何通りあるか？


中間試験勉強で理解した問題なのですが、解き方を忘れました。

過去の私は、一つを固定し、5!/2!2!=30
中心対称なのが2つなので、 2+(30-2)/2=16
と解いていました。

問題集の解説とは異なる解法で、先生に問題ないと言われたハズなのですが、なぜ、１つ固定したのに2で割っているのか理解できません。

この解法は間違っているのでしょうか？
初歩的な質問ですいません。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/05 14:28

式はあっていると思いますよ

式から読み取れることは
例えば赤１赤２は区別がつくとして　のこりは同色で区別がつかない時の円順列が5!/2!2!=30（・・・赤の区別がある）
ここで、円の中心に関して対称性を利用すると、
中心対称な順列は２通り
・・・中心対称では、赤は対面の位置にあり、赤の左が青、右が黄色、および赤の左が黄色右が青の２通り・・・赤の区別はあるとしてもないとしても同様で、どちらのケースでも２通り。・・・
中心対称な円順列は赤の区別をなくしてもなくさなくても同数であるというところがポイント
よって、赤が区別のある状態で中心対称でない物は（赤が対面の位置にないものは）30-2通り　より
赤の区別をなくすと、重複している物が30-2通り
赤の区別をなくしても重複を考慮しなくて良いのが（中心対称の）2通り
ゆえに　重複解消で(30-2)/2
重複解消後の総数が{(30-2)/2}+2

この回答へのお礼

ありがとうございました！
わかりやすかったです！
期末がんばります！

お礼日時：2019/07/05 15:12

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/05 14:47

合っています。

三色2個+2個+2個でなく四色1個+1個+2個+2個なら、
並べ方は 5!/2!2! 通りになります。ここまではいいですね？

三色2個+2個+2個だと、固定した玉と、固定しなかった同色の玉の
役割を入れ替えても同じ並べ方ができます。
例えば、(赤)白赤青青白 という並べ方は、
２個ある赤の役割を変えると (赤)青青白赤白 と同じことなので、
5!/2!2! 通りとしたのでは二重に数えてしまっています。
この重複をなくすために、2で割るのですが、

その一方で、(赤)白青赤白青 のように
２個ある赤の役割を変えても同じ並べ方になり、
5!/2!2! 通りの中に２度数えされていない並べ方もあるのです。
そのような並べ方が、質問文で「中心対称なの」と呼ばれているもので、
(赤)白青赤白青 と (赤)青白赤青白 の２通りです。

5!/2!2! の中に１度だけ数えられているものが ２ 通り、
2度づつ数えられているものが 5!/2!2! - 2 通りなので、
総数は 2/1 + (5!/2!2! - 2)/2 通りになるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございました！！
すごく詳しく書いてくださってすぐ理解できました！二人共わかりやすかったのですごくまよったのですが、早かった方をベストアンサーにします。こんなに丁寧にやってくださったのにすいません、、、。

お礼日時：2019/07/05 15:12