数学 赤の4枚、白4枚あります。 円形に並べる方法は全部で何通りですか？

数学
赤の4枚、白4枚あります。
円形に並べる方法は全部で何通りですか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/20 11:00

10通り

白赤赤赤赤白 白白
白赤赤赤白 赤白白, 白赤赤赤白 白白赤
白赤赤赤白 白赤白
白赤赤白 赤赤白白
白赤赤白 赤白赤白, 白赤赤白 白赤白赤
白赤赤白 白赤赤白
白赤赤白 赤白白赤
白赤白 赤白赤白赤

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/20 18:59

円周を8等分するように8個の点を取ります。

そのうちの1つの点をAとし、そこから時計の針の進む方向と逆向きに残りの点をB、C、D、E、F、G、Hとします。この8個の点に赤4枚、白4枚を並べるとします。このときに、赤4枚を並べた点を結び四角形を作ります。赤4枚、白4枚の並べ方が同じときは四角形の形が同じになるので、求める並べ方の数は、形の異なる四角形の数と一致します。(10通り)

[1] 四角形ABCD（台形①）
[2] 四角形ABCE
[3] 四角形ABCF
[4] 四角形ABCG
[5] 四角形ABDE（台形②）
[6] 四角形ABDF
[7] 四角形ABDG（台形③）
[8] 四角形ABEF（長方形）
[9] 四角形ABEG
[10] 四角形ACEG（正方形）

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/21 08:20

No.2 補足です。

円順列では回転して同じものは同じ並べ方としてみるので、回転を止めるために1個を固定します。Aを赤とします。そして、赤が何個隣り合っているかで場合分けします。
[1] 赤が4個隣り合う場合(赤ABCD)
自動的に白4個も隣り合うことになるので1通りです。

[2] 赤が3個隣り合う場合(赤ABC)
残りの赤1個で白4個を2つに分けるので3通りです。
①白が(1個と3個) (赤E)
②白が(2個と2個) (赤F)
③白が(3個と1個) (赤G)

[3] 赤が2個隣り合う場合
残りの赤2個が隣り合う場合と、隣り合わない場合があります。
（ⅰ）残りの赤2個が隣り合う場合
この隣り合う赤2個で白4個を2つに分けるので2通りです。
①白が(1個と3個) (赤DE)
②白が(2個と2個) (赤EF)
＊白が(3個と1個) (赤FG)は①と同じものになります。

（ⅱ）残りの赤2個が隣り合わない場合
この隣り合わない赤2個で白4個を3つに分けるので3通りです。
①白が(1個と1個と2個) (赤DF)
②白が(1個と2個と1個) (赤DG)
③白が(2個と1個と1個) (赤EG)

[4] 赤が隣り合わない場合
自動的に赤白交互ということになるので1通りです。