計算で求める方法を教えてください

袋の中に10個の赤球と5個の白球があり、この中から3個を同時に取り出す。このときの球の取り出し方の場合の数を求めよ　という問題がありました
回答には、赤３個、赤２個白１個、赤１個白２個、白３個、の４通りと書いてあったのですが、３個だけなら数え上げれば簡単に求められますが、これが赤１００個白５０個中３０個とかだったら数えあげるのが大変だと思います　計算で求める方法を教えてください
また、赤10個白５個の時、7個を取り出す場合の数を求める方法も教えてください


お願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： opechorse 回答日時： 2008/03/18 20:26

一番最初の

赤10個白5個のときで考えてみると
取り出される玉3個のうち、白色に注目すると
取り出す可能性は3個、2個、1個、0個の4通りになります
つまり、1から取り出す数(3個)に0個のときをたした4通りあります
このときの赤は、常に1対1で対応します
赤３個-白0個、赤２個-白１個、赤１個-白２個、赤0個-白３個
だからこの場合は取り出す数+1が取り出し方の数になります

なぜ、白から考えるようにしたか
白のほうが数が少ないからです
赤10個白５個の時、7個を取り出す場合
最大は白が5個のときになりますのでここまでで同じように考えます

もう一つの考え方は
玉3個を、マッチで区切って、その右が赤、左が白と考えるやり方です
このほうは色が3色以上になっても一般論としてとくことができます

｜赤　赤　赤
白｜赤　赤
白　白｜赤
白　白　白｜

No.4 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/03/20 15:02

＞　３個だけなら数え上げれば簡単に求められますが、これが赤１００個白５０個中３０個とかだったら数えあげるのが大変だと思います　計算で求める方法を教えてください

そう考えるのは正しいし、すばらしいと思いますよ。計算で求める方法を自分で考えられればもっと良かったのでしょうけどね。

袋の中に赤 100 個、白 50 個の球が入っているとしましょう。
ここから 30 個取り出すとき、取り出し方の場合の数は？
袋の中には、赤も白も 30 個以上あります。ですから、袋から 30 個を取り出したとき、30 個全てが赤（白は 0 個）の場合も有り得るし、30 個全てが白（赤は0個）の場合も有り得ます。30 個取り出したとき、その中に赤が n 個あるならば、白は30 - n 個とあると決まってしまいますから、取り出し方の場合の数は、取り出す 30 個の中に入っている赤の球の数が何通りあるか（または白の数が何通りあるか）を調べれば良いのです。球を 30 個取り出したとき、赤い球の数は0個か、1個か、2個か....., 29個か30個か、つまり 0 個から30個までの 31 通りが考えられますから、「 30 個取り出すときの取り出し方の場合の数は 31 」となります。
次に、 30 個ではなくて 60 個取り出す場合を考えて見ましょう。袋の中には、赤は 100 個ありますが、白は 50 個しかありません。この袋から 60 個の球を取り出すと、その 60 個の中にある赤の球は 10 個以上 60 個以下になります。なぜなら、袋の中に白い球は 50個 しかないので、60 個取り出したときには必ず赤が10個以上含まれる事になります。ということで、60個取り出すとき、その中に入っている赤い球の数は10個から60個までの 60 - 10 + 1 = 51 通り。故に、60 個取り出すときの取り出し方の場合の数は 51 です。このように、「60個取り出した時の赤の数」に着目して場合の数を求める事ができるのですから、「白の数」に着目しても場合の数を求める事はできるはずです。60個取り出したときの白の数は、0個から50個までの51通り（白 0 個の時は赤 60 個、白 50 個のときは赤 10 個）ですから、「白の数」に着目しても場合の数は 51 と求められます。
さらに、60 個ではなくて 120 個取り出す場合を考えて見ましょう。袋の中には赤が 100個、白が 50 個しかありません。ですから、120 個取り出す場合は、「赤ばかりが 120　個」も、「白だけ 120 個」ということも有り得ません。赤を全部( 100 個)取り出して足りない分が白（ 20 個 ) という組み合わせから、白を全部（ 50 個）取り出して、足りない分が赤（70個）まで、赤と白の組み合わせは変化することができますから、赤の個数は 70 個から 100個まで（このとき白の個数は 50 個から 20 個まで）の 31 通り。故に、取り出し方の場合の数は 31 です。

一般的に、赤 N 個、白 M 個入った袋から k 個（ただし N + M ≧ k ）の球を取り出す場合の数は、
N ≧ k かつ M ≧ k ならば、取り出し方の場合の数は k + 1 （赤の数（または白の数）が 0 から k 個の k+1 通りだから）
N ＜ k かつ M ≧ k ならば、取り出し方の場合の数は N + 1 （赤の数が 0 個から N 個までの N+1 通りだから）
N ≧ k かつ M ＜ k ならば、取り出し方の場合の数は M + 1 （白の数が 0 個から M 個までの M+1 通りだから）
N ＜ k かつ M ＜ k ならば、取り出し方の場合の数は N + M + 1 - k （赤の数が N 個のとき 白は k - N 個で、白が M 個のとき赤の数は k - M 個なので、赤の数は k - M 個から N 個までの N - (k - M) + 1 = N + M + 1 - k 通りあるから）

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/18 09:18

おっと、続きがありましたか。

>赤10個白５個の時、7個を取り出す場合の数

白0個から5個まで6通り。

こういうのは一度、自分で数えてみること。
簡単な法則がすぐに見つかります。
だめだったら質問して来ればいいです。
そうすることでより深く理解できます。

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/18 08:56

>赤１００個白５０個中３０個

なら、３０＋１
なぜなら赤の数が0個から30個まであるから。