群準同型の個数

nは2以上の整数とする.
群準同型g:Z/nZ→Z/8Zであって,像Imgの元の個数が2個であるものはいくつあるか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/24 15:53

準同型定理により (Z/nZ)/Ker g と Im g は同型。

両者の位数を考えると、n/|Ker g| = |Im g| = 2 である。
式を満たす g が存在するためには、 n が偶数であることが必要になる。

逆に n が偶数であれば、
(Z/nZ)/Ker g は Z/nZ の位数 2 の部分群となる。
そのようなものは、{ 0, n/2 } ただひとつである。

以上より、
n が奇数のとき g は 0 個、
n が偶数のとき g は 1 個。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
お返事遅くなり申し訳ございませんでした。不明点がまだあるので質問させていただければ幸いです。

お礼日時：2023/09/03 00:55

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/22 05:41

nは2以上の整数とする

群準同型g:Z/nZ→Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}
像Imgの元の個数が2個であるものは
Img={0,4}

nが奇数のとき
Imgの元の個数は奇数で偶数2個にならないから
0個

nが偶数のとき
x=0(mod2)のときg(x)=0
x=1(mod2)のときg(x)=4
1個

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
お返事遅くなり申し訳ございませんでした。不明点がまだあるので質問させていただければ幸いです。

お礼日時：2023/09/03 00:55