整式について。

xの三次の整式p(x)がp(1)=1、p(x＋1)ーp(x)=6x^2+4x+2を満たす。このとき、整式p(x)を求めよ。
この問題が分かりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2018/10/15 14:56

p(x+1)ーp(x)=⊿ p(x)

ここで、和分して
p(x)=∫ ｛ ⊿ p(x) ｝ ⊿ x=∫ 6 x〔2〕+10 x〔1〕+2 ⊿ x にていせいします！

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/10/15 14:31

差分は、

x^0=x 〔0〕
x=x〔1〕
x^2=x 〔2〕+x〔1〕
x^3=x 〔3〕+3x〔2〕+x 〔1〕より

6x^2 +4x+2=6｛ x〔2〕+x〔1〕｝ +4x〔1〕+2=6〔2〕+10x〔1〕+2

和分して
p(x+1)ーp(x)=⊿ p(x)=
∫ 6 x〔2〕+10 x〔1〕+2 ⊿ x=(6/3) x〔2+1〕+(10/2) x 〔1+1〕+2 x〔1〕+C
=2x〔3〕+5 x〔2〕+2 x〔1〕+C
=2x(xー1)(xー2)+5 x (xー1)+2x+C
ここで、x=1とすれば、p(1)=1より 2・1+C=1 ∴ C=ー1
=x(xー1)(2xー4 +5)+2xー1
=2x^3 ーx^2 +xー1 ……答え

参考に
∫ x^0 ⊿ x=x 〔1〕+C
∫ x ⊿ x=x〔2〕/2 +C
∫ x^2 ⊿ x=(1/3)x〔3〕+(1/2)x〔2〕+C=x(xー1)(xー2)/3 +x(xー1)/2 +C
=x^3 /3 ーx^2 /2 +x /6 +C
∫x^3 ⊿ x=x^4 /4ーx^3 /2 +x^2 /4 +C より

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/10/15 13:21

No.2です。

最後の最後に答えの記入を間違えてしまった。
答え：p(x)=2x^3－x^2＋x－1 です。お詫びして訂正します。

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/10/15 13:20

p(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d (a≠0)と置く。

p(1)＝a＋b＋c＋d＝1・・・①

p(x+1)＝a(x+1)^3＋b(x+1)^2＋c(x+1)＋d
　＝ax^3＋3ax^2＋3ax＋a＋bx^2＋2bx＋b＋cx＋c＋d
　＝ax^3＋(3a＋b)x^2＋(3a＋2b＋c)x＋(a+b+c+d)

p(x+1)－p(x)＝{ax^3＋(3a＋b)x^2＋(3a＋2b＋c)x＋(a+b+c+d)}－{ax^3＋bx^2＋cx＋d}
　＝3ax^2＋(3a+2b)x＋(a+b+c)
　＝6x^2 ＋4x　　　＋2

係数比較より、
3a＝6
3a＋2b＝4
a+b+c＝2
a+b+c+d＝1
以上4本の式より、
a＝2、b＝－1、c＝1、d＝－1
答え：p(x)＝2x^3－2x^2＋2x－1


【別解】
p(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d (a≠0)と置く。
p(1)＝a＋b＋c＋d＝1・・・①

p(x+1)－p(x)＝6x^2+4x+2にx＝0を代入する。
左辺は p(1)－p(0)＝(a＋b＋c＋d)－(d)＝a＋b＋c
右辺は 2 だから、結局 a＋b＋c＝2・・・②

p(x+1)－p(x)＝6x^2+4x+2にx＝1を代入する。
左辺は p(2)－p(1)＝(8a＋4b＋2c＋d)－(a＋b＋c＋d)＝7a＋3b＋c
右辺は 6＋4＋2＝12 だから、結局 7a＋3b＋c＝12・・・③

p(x+1)－p(x)＝6x^2+4x+2にx＝－1を代入する。
左辺は p(0)－p(－1)＝(d)－(－a＋b－c＋d)＝a－b＋c
右辺は 6－4＋2＝4 だから、結局 a－b＋c＝4・・・④

①、②、③、④より、
a＝2、b＝－1、c＝1、d＝－1　となり、p(x)は三次の整式となっている。
答え：p(x)＝2x^3－2x^2＋2x－1

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/10/15 13:03

p(x)=2x^3－x^2＋x－1

http://m.wolframalpha.com/input/?i=f%281%29%3D1% …