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問43           m-1
{(b^m) - (a^m)}/(b-a) = Σ[(b^{m-1-k})*(a^k)
               k=0

このようになる理由が分かりません。
公式なのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

左辺分母から b を


分子から b~m を括り出すと、
左辺 ={ (b~m)/b }{ 1 - (a/b)~m }/{ 1 - (a/b) }。
初項 b~(m-1)、公比 a/b、項数 m の
等比数列の和になっているでしょう?
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等比数列の和の公式。


左辺分母から b を括り出して御覧なさい。

この回答への補足

ありがとうございます。

等比数列ですか!まったく気がつかなかったです。

括りだして計算してみたのですが、Σにするときに、a^kの部分がa^(k-1)となってしまいます・・・。

計算方法の詳細を教えてもらう事はできますか?

補足日時:2009/08/29 15:00
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この回答へのお礼

早い回答大変ありがとうございます。

お礼日時:2009/08/29 15:03

書き出してみると


m=1のとき
1

m=2のとき
a+b

m=3のとき
aa+ab+bb

m=4のとき
aaa+aab+abb+bbb


mの増加で項が増えていきます。なのでΣの最後はmに依存します

あとはaとbの次数をみると
aの次数が減っていき、代わりにbが増えていってます。
(bの降べき順ならbの次数が減り、aが増えるとしても等価)
だから、kの増加でbの次数は減っていき、aの次数が増えていますね。

この回答への補足

ありがとうございます。

代入して、推測すればよかったんですね!
推測以外ではできないのでしょうか?

補足日時:2009/08/29 14:56
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。

とても分かりやすいです。

お礼日時:2009/08/29 15:02

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