プラチカIIICの問43の(1)について

問43　　　　　　　　　　　m-1
{(b^m) - (a^m)}/(b-a) = Σ[(b^{m-1-k})*(a^k)
　　　　　　　　　　　　　　 k=0

このようになる理由が分かりません。
公式なのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/30 21:33

左辺分母から b を

分子から b~m を括り出すと、
左辺 =｛ (b~m)/b ｝｛ 1 - (a/b)~m ｝/｛ 1 - (a/b) ｝。
初項 b~(m-1)、公比 a/b、項数 m の
等比数列の和になっているでしょう？

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/29 14:10

等比数列の和の公式。

左辺分母から b を括り出して御覧なさい。

この回答への補足

ありがとうございます。

等比数列ですか！まったく気がつかなかったです。

括りだして計算してみたのですが、Σにするときに、a^kの部分がa^(k-1)となってしまいます・・・。

計算方法の詳細を教えてもらう事はできますか？

補足日時：2009/08/29 15:00

この回答へのお礼

早い回答大変ありがとうございます。

お礼日時：2009/08/29 15:03

No.1 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/29 14:02

書き出してみると

m=1のとき
1

m=2のとき
a+b

m=3のとき
aa+ab+bb

m=4のとき
aaa+aab+abb+bbb


mの増加で項が増えていきます。なのでΣの最後はmに依存します

あとはaとbの次数をみると
aの次数が減っていき、代わりにbが増えていってます。
(bの降べき順ならbの次数が減り、aが増えるとしても等価)
だから、kの増加でbの次数は減っていき、aの次数が増えていますね。

この回答への補足

ありがとうございます。

代入して、推測すればよかったんですね！
推測以外ではできないのでしょうか？

補足日時：2009/08/29 14:56

この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。

とても分かりやすいです。

お礼日時：2009/08/29 15:02