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以下の問題を教えてください。

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相対論的な運動方程式

F ⃗=(dp ⃗)/dt

が、加速度

(dv ⃗)/dt

の向きによって、

v ⃗⊥(dv ⃗)/dt → F ⃗=m/γ^(3/2) ⋅(dv ⃗)/dt

v ⃗∥(dv ⃗)/dt → F ⃗=m/γ^(1/2) ⋅(dv ⃗)/dt

となることを示せ。ただし、

γ=1-(v^2/c^2 )

である。

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よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

違います。



誤解しやすいので質点の速度を<u> 、大きさは u、γ=1/√(1-u²/c²)
など、一般的な表記を使う。

 m(γ<u>)'=<F>
  → mγ<u>'+mγ³<u>(u/c²)u'=<F>・・・・①

したがって、
 <u>⊥<u>' → <u>・<u>'=0 → (<u>・<u>)'=0
  → (u²)'=0 → u=const.
すると、u'=0 だから、①の左辺2項は0となり
 mγ<u>'=<F>
を得る。

つぎに <u>∥<u>' のとき、<e>を単位ベクトルとして
 <u>=u<e> , <u>'=u'<e>
と表せるから①は
 mγu'<e>+mγ³u(u/c²)u'<e>=<F>
  → mγu'<e>(1+γ²(u²/c²))=<F>
ここで
 (1+γ²(u²/c²))=γ²(1/γ²+u²/c²)=γ²(1-u²/c²+u²/c²)=γ²
なので

  → mγ³u'<e>=<F> → mγ³<u>'=<F>
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この回答へのお礼

γ間違えてましたね、すみませんでした。

わかりやすい説明ありがとうございます。

お礼日時:2022/07/04 13:44

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