問a(t)＝dv/dt＝−0.5v(t) 微分方程式を解いてv(t)を求めよ ∫dv/v＝−∫0.5

問a(t)＝dv/dt＝−0.5v(t)
微分方程式を解いてv(t)を求めよ

∫dv/v＝−∫0.5dt
logv(t)＝−0.5t +c

∫dv/vがなんでlogv(t)になるのか分かりません
教えて欲しいです

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/26 02:42

(log|x|)'=1/x

ならば積分は微分の逆だから質問の答えになります。

x>0の場合
logの定義から
e^(logx)=x
だから両辺をxで微分すると、合成関数の微分を使えば
e^(logx)(logx)'=1 → (logx)'=1/x=(log|x|)'=1/x

x<0の場合
e^(log(-x))=-x
だから両辺をxで微分すると

e^(log(-x))(log(-x))'=-1 → (log(-x))'=1/ー→ (log|x|)'=1/x

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/24 19:48

理由も何も、それが log の定義だから。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/24 10:53

∫dv/v　とは

　∫(1/v)dv = ∫[v^(-1)]dv
のことです。

積分公式の最初に出て来る
n≠-1 のとき ∫[x^n]dx = [1/(n + 1)]x^(n + 1) + C
n＝-1 のとき ∫[x^(-1)]dx = ∫[1/x]dx = log|x| + C
と習いますよね？

↓　たとえば
https://manabitimes.jp/math/850
https://atarimae.biz/archives/22862

お示しのものも、正確に書けば

∫dv/v＝−∫0.5dt
→　log|v(t)|＝−0.5t + C1
→　v(t) = ±e^(-0.5t + C1)
　　　　= ±e^C1 ･e^(-0.5t)
　　　　= Ce^(-0.5t)　　（C = ±e^C1）
と書くのでしょうね。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/24 04:21

∫ dx/x は計算できる?

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/23 23:20

logvを微分すれば確かめられます。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/23 21:31

公式です