150!の末尾には0が連続して何個並ぶか。 ↓下記は解答例です。 末尾が0になるのは、150!を素因

150!の末尾には0が連続して何個並ぶか。


↓下記は解答例です。
末尾が0になるのは、150!を素因数分解したときに、
10がいくつあるか、ということ。
10＝2×5で、
1~150までの中の全ての素因数として、明らかに5の方が少ないので、
素因数として5の数を数えればよい。

5の倍数・・・150÷5＝30個
25の倍数・・・150÷25＝6個
125の倍数・・・150÷125＝1・・・25だから1個

よって、1~150までに素因数5の数は、
30＋6＋1＝37個

ということで、150!の末尾には0が37個並ぶ。



素因数5の個数で決まるというのとは分かりましたが、なぜ5² も考えているのですか？5の倍数に、5² の倍数も含まれていませんか？

No.4 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/11/24 18:16

考えてみましたが、ダブっていても良いのは、5^2の倍数にはゼロが2つあり、5^3の倍数にはゼロが三つあるせいです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/18 09:05

数えるべきは150!に含まれる素因数5の数。

5の倍数の数じゃ無い。
例えば25は2個ですよね。倍数を数えるだけではー個と数えてしまう。

5の倍数の中に、5が1個のものが24個、5が2個のものが5個、5が3個のものが1個
合計で24+5×2+1×3=37個
なんだけど、一つ一つ調べるより、5、25、125の倍数の数を足す方がスマートです。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/11/17 15:26

逆を言いたいんじゃ無いの？

5²の倍数は、5の倍数をカウントした時、既にカウントしたんじゃ無いですか？
125の倍数も、5の倍数をカウントした時、既にカウントしたんじゃ無いですか？
つまり、ダブルカウントしてるんじゃないですか？
って言いたい？？？？？

知りたいのは5の倍数じゃ無くて、5と言う因数を持ってる数の個数。

25,50,75,100,125,150の6個は、5と言う因数を2個ずつ持ってる。
5の倍数で既にカウントしたのは1個分。
25,50,75,100,125,150は、もう1個持ってるからそれを足す。

125は25の倍数でもあり、5の倍数でもある。
5で割った時に1回カウントし、25で割った時にもう1回カウントしてる。
計2回カウントしてるけど、125は因数5を3個持っている。
だから、125で割った1回も足す必要がある。

∴30＋6＋1＝37個となる。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/11/17 15:09

>>5の倍数に、5² の倍数も含まれていませんか？

30や35は5の倍数だが、25の倍数では無い
同様に200や300や400は5の倍数だが、125の倍数では無い