”収束する無限積の積の順序変え”

退職した数学好きの年寄りが、家で頭をひねっています。
よろしく願います。

添付した系1.5の証明についての質問になります。（素数とゼータ関数という本のp12です）

ζ(2)はπ^2/6に収束しています。
この時、Π(1+1/p)が発散するので、Π(1-1/p)が0になる事が必要条件だと何となく分かるのですが、ネットを検索しても、中々でてきません。
又、無限積について取り上げている書籍も多くみあたりません。

私は、
ζ(2)はπ^2/6に収束　→　Π(1+1/p)=♾でΠ(1-1/p)=0
”Π(1+1/p)=♾でΠ(1-1/p)=0”　は　”ζ(2)はπ^2/6に収束"の必要条件と考えています。

この考えが正しい考えか？
と、無限乗積について書かれたwebsiteと書籍をご存知の方
ご回答をよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 必要条件という言い方がまずかったのかもしれません。
  添付ファイルの最後に＜＜でなくてはならない＞＞と書いてある様に、包含関係から言えば、＜＜Π(1-1/p)=0＞＞の方が、＜＜ζ(2)はπ^2/6に収束＞＞を包み込む関係で、Π(1-1/p)=0は必ず成り立つので、＜＜必要性＞＞と書きました。
  問題にしているのは１つの無限乗積の順序を変えた（分解した）時、どの様な定理があるのか知りたいということです。
  何となく、上の証明でΠ(1-1/p)=0以外は有りえないとは思いますが、その定理（根拠）が何処にも見つからないので、その様な定理（根拠）があるのか？知りたいという事です。
  有限（π^2/6)が等号(=)で♾と０で結ばれている関係について知りたいのです。
  よろしく願います。sy

    補足日時：2018/11/26 20:00

• 

  一晩寝て起きて考えた。考え過ぎてたのではないかと。
  ワイエルシュトラスの因数分解とか、因数分解して順序を変えた時、それに関する定理があるのではないかとか。
  初めて無限乗積に取り組んだので、あ〜でもない、こ〜でもないと余計な事を考え過ぎていたのではないか。
  しかし、＜＜１つの無限積を２つの無限積の積にした時、それぞれの場合によってそれぞれ違う。＞＞が結論だと思う。それぞれ違う無限積になるのだから、考えてみたら当たり前だ。
  
  今回の場合は、＜＜１つの収束する無限積を２つの無限積の積とし、片方が♾なのでもう１方は0になったというだけの事＞＞、だと言う事だろう。
  
  でも、文字に起こし質問をして、回答をもらうことは、１つの考えに凝り固まった頭をほぐしてくれる。
  もう少し検討してみるが、上の考えで合っている気がする。
  回答ありがとうございます。

    補足日時：2018/11/27 10:55

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/27 19:12

あなたがお気づきの通り考え過ぎですよ。

無限積＝部分積という数列の極限値、というもとの定義にかえればよいのです。
表題の無限積の部分積
＝1/(ζ(2)に収束する無限積の部分積×無限大に発散する無限積の部分積)
に気づけばｐ→∞のときにどうなるかはおわかりですね。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2018/11/27 16:46

「因子 Π(1-1/p) が0でないと仮定すると、積が発散するので矛盾」という帰謬法で良いのでは？

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/26 18:59

ぼくも数学が下手の横好きの爺ですけどね。

ζ(2)はπ^2/6に収束　→　Π(1+1/p)=♾でΠ(1-1/p)=0　ではなく
ζ(2)は０でない値に収束、かつΠ(1+1/p)=∞　→　Π(1-1/p)=0
だと思います。
写真もそのように説明してると思いますが。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/11/26 15:52

おそらく「必要条件」という用語の意味を理解なさっていないのだろうと思います。

ご質問の文脈では、この用語には出番がなさそうです。