軌跡と方程式 この問題がわかりません。 わからないところの具体的なことは写真に書いてあります！ 教え

軌跡と方程式

この問題がわかりません。
わからないところの具体的なことは写真に書いてあります！
教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/03 12:41

「」部分は分かっているのなら読み飛ばしてください

「円の基本形は
(x-m)²+(y-n)²=r²・・・中心（m,n)、半径ｒ
ここで半径ｒは０以上でなければ円ではない

ということで、赤ペン１行目
a²≧０だから
(1/4)a²≧０
⇔(1/4)a²+1≧０+1
⇔(1/4)a²>0
よって黒ペン３行目の式で半径の２乗に相当する右辺は０より大きい
３行目の(1/4)a²+1は基本形のr²に相当、
(1/4)a²+1＝r²>0だからr>0
よってこの式はr<0でないから円を表す　
と言う意味

次に２行目
これも円の基本形と黒ペン３行目の式を比較
３行目は基本形の式にm=-3a/2,n=aを代入したものだから
黒ペン３行目が表す円の中心の座標は(-3a/2,a²)
座標にaと言う文字が入っているので、aの数値が変われば中心の位置も変わる
したがって中心は動くので、動点と言える。
さて、動点の軌跡を求める場合にすることの基本が動点（本問では円の中心）の座標を(x,y)と置くことです。
そうしたら、与えられた条件をｘ、ｙについての方程式で表します
本問では、前述のように中心：(x,y)=(-3a/2,a²)だから
x=-3a/2・・・①,
y=a²・・・②です。
ここまでが赤ペン２行目

①②をひとまとめにして（①をa=-2x/3として②に代入して）ｘ、ｙの関係を求めたのが
y=4/9x²」



★★★さて、核心★★★
y=4/9x²はもともと
x=-3a/2
y=a²
から来ていますよね。
これらの式から言えることは
例えば、a=2ならx=-3,y=4つまり円の中心が(-3,4)になり
a=-2ならx=3,y=4つまり、中心が(3,4)になるという事です。
他にもaを変えれば中心が変わります。
（当たり前と言えば当たり前ですよね）
これらすべてをつなぎ合わせたものが求めるべき（中心の）軌跡です

この中心の座標を求めようとするときにaを省略したものが
y=4/9x²なのです
この式でも、円の中心の座標が分かります
x=-3のとき
y=4/9x²=4
→中心は(-3,4)

x=3のとき
y=4/9x²＝４
→中心は(3,4)
というように、aの値から中心の座標を調べた場合と全く同じ結果が得られます。
つまり、aの値によって中心の座標は変わるが、中心のx座標とy座標の間には常にy=4/9x²とういう関係があるという事です
中心のｘ座標が決まると、この関係式によってｙが決まる
このようにして中心の座標を次々に調べていってつなぎ合わせたものが、中心の軌跡ですから、
y=4/9x²は中心の軌跡を求めるための式
簡単に言えば
y=4/9x²は中心の軌跡　となるのです。

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/01/03 01:12

式変形が少し違うようですが。

(x＋3a/2)^2＋(y－a^2)^2＝a^2/4＋1
この式は、中心が(-3a/2、a^2)で、直径が√(a^2/4＋1) の円の方程式を意味する。
ところで、中心のx座標とy座標との関係については、y＝a^2＝(－2x/3)^2＝(4/9)･x^2 となる。
つまり、aの値に関わらず、示された式の円の中心は y＝(4/9)･x^2 上の放物線上にあることがわかる。

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/01/03 01:03

中心のｙ座標が中心の軌跡になる、んじゃないの。

見ようによっては、パラメータａによって、ｘとｙとが関係づけられていますよね。
パラメーターａを動かすことで、ｘとｙとがそれぞれ増えたり減ったりする。
それで、ａを消去して、ｘとｙとの直接的な関係式を求めた、ということ。

例えば、ａに、－１,０,１,２,などと代入してみて下さい。
ｘとｙとがそれぞれ動きますよね。それぞれの座標を、例示してみて下さい。
じゃぁこんどｘ＝～～ａ、ｙ＝～～ａ^2、という二式から、ａを消去して、ｘとｙとの関係式を出して下さい。
上で例示したｘをいれてやると、そのｙにちゃんとなるでしょうか。確認して下さい。

中心のｙ座標が中心の軌跡になる、んじゃなくて、ｘとｙとの関係式を出したのだから、ｘが～～なときのｙが出る、そのｘとｙの組み合わせが、ｘが～～なときの中心の座標(ｘ,ｙ)なわけ。