行列の問題です 解け方がわからないので詳しい解説よろしくお願します

行列の問題です
解け方がわからないので詳しい解説よろしくお願します

No.1 ベストアンサー 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/14 16:53

(1)固有方程式は解くのが面倒なのでwolfram alpha任せです。

wolfram alphaに「eigenvalue{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}」と入力するとλ=2,－1と出てくる。

(2)固有ベクトルも導きのが面倒なのでwolfram alpha任せです。

「Corresponding eigenvectors」のところを見ると、

λ=2の固有ベクトルは(1,1,1)とあるので、c_1(1,1,1)全体がなすベクトル空間
λ=－1の固有ベクトルは(－1,0,1)と(－1,1,0)となるので、c_2(－1,0,1)＋c_3(－1,1,0)全体のなすベクトル空間

c_1,c_2,c_3は任意の実数とする。

(3)W_(λ_2)(A)はグラム・シュミットの直交化の問いです。

W_(λ_1)(A)の正規直交基底は(1/√3)(1,1,1)
W_(λ_2)(A)の正規直交基底は(1/√2)(－1,0,1)と(1/√6)(－1,2,－1)

(4)

ここまでくれば自分でできるでしょう。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/14 19:37

言われたとおりに作業するだけの問題です。

問題文中の用語がわからないなら、教科書で
定義を確認しておく必要があるでしょう。

行列A、0でないベクトルx、スカラーλが
Ax=λx を満たすとき、λを行列Aの固有値、
xを行列Aの固有値λに属する固有ベクトル、
ひとつのλに属するxの全体を
行列Aの固有値λに属する固有空間と言います。
固有空間は、Aが作用する空間の部分線型空間です。

(1)
Aと同次元の単位行列をEと置くと、
Ax=λx は (A-λE)x=0 と書けます。
これを満たす0でないxが存在する条件は
det(A-λE)=0 ですね。この式を、Aの
特性方程式とか固有方程式とか言います。

成分計算でdetを展開すると、このAでは
-λ^3+3λ+2=0 となります。
このくらいの三次方程式は直感だけでも
λ = 2,-1,-1 と解けますが、
A-λE を成分で書いて非正則にしようとすれば
解 λ=-1 が在ることは自明でしょう。
そこから因数定理で二次方程式へ変形できます。
あるいは、重根があるというヒントが出ているので、
f(λ)=-λ^3+3λ+2 と置いて
f(λ)をf'(λ)で割ってみてもよいです。

(2)
各λについて (A-λE)x=0 を解けば、
解空間として固有空間が求まります。
λ=2について、
-2x+y+z=0,
x-2y+z=0,
z+y-2z=0　を解いて
W1 = { (x,y,z) | x=y=z }。

λ=-1について、
x+y+z=0,
x+y+z=0,
z+y+z=0　を解いて
W2 = { (x,y,z) | x+y+z=1 }。

(3)
W1は１次元なので、正規直交基底は
単位方向ベクトルです。(z,z,z)の
単位方向ベクトルは (1/√3,1/√3,1/√3)。

W2は２次元の x+y+z=1 ですね。
ひとつの基底 { (1,0,0), (0,1,0) } は
直感で見つかるでしょう。
すぐに思いつかなければ、
(全空間の次元)-(W2の次元) 個の成分に
適当に何か値を代入して
連立一次方程式を解けばよいです。

上記の基底は、たまたま直交しているので
単位ベクトルをとれば、正規直交基底
{ (1/√2,0,0), (0,1/√2,0) } が得られます。
思いついた基底が直行していなかった場合は、
基底{a,b}から c=a+sb (sはスカラー)と置いた
cがaと直交するようにすればよいです。内積の式
a・(a+sb)=0 がsの一次方程式になっています。

(4)
n重根の固有値λに属する固有空間は一般に
n次元以下ですが、n次元であるとは限りません。
今回のAのように全てのn重根に対して
固有空間がn次元である行列だけが、
固有ベクトルを使って対角化することができます。

Aの固有値λと固有空間の基底ベクトルx
の各組に対して Ax=λx という式を考え、
これらを列として並べた行列の等式を作ると
AP=PΛ、PはAの固有空間の基底を列に並べた行列、
ΛはAの固有値を対角成分に並べた対角行列
となっています。Λ = (P^-1)AP と書けますね。
(3)の解についてP,Λを作ってみてください。