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統計学の問題です。
ある家庭の玄関につけられる電球の寿命は正規分布N(180,10^2)に従うものとする。
正月に新しい電球に取り替えたとき,年内に2回以上取り替えねばならない確率を求めなさい。
ただし,解答は小数第3位で四捨五入し,小数第2位まで記入すること。
ヒント1:
1つ目の電球の寿命をX, 2つ目の電球の寿命をYとすれば,XとYは独立である。
X+Y < 365となる確率を求めれば良い。
ヒント2:
XとYが正規分布に従う確率変数であるとき,X+Yも正規分布に従う。

回答お願い致しますm(._.)m

gooドクター

A 回答 (3件)

ある家庭の玄関につけられる電球の寿命は正規分布N(180,10^2)に従うものとする。


正月に新しい電球に取り替えたとき,年内に2回以上取り替えねばならない確率を求めなさい。
ただし,解答は小数第3位で四捨五入し,小数第2位まで記入すること。

電球の寿命Xは正規分布N(180,10²)に従う。2個目の電球の寿命Yも正規分布N(180,10²)に従う。
2個の電球の寿命X+Yは正規分布N(180+180,10²+10²)=N(360,200)に従う。この平均と標準偏差は
360と√200である。統計量Z=(X+Y-360)/√200は標準正規分布N(0,1)に従う。
2個の電球の寿命X+Yが365に達しなければ、年内に2回以上取り替えねばならない。
その確率pは、Z=(365-360)/√200=0.354とすると、標準正規分布N(0,1)の(累積)分布関数値となる。
(累積分布関数のことを、累積の文字を省略して、分布関数と呼ぶ慣習になっているが、間違いを防ぎたいときは、累積をつけて言うことがある。)
エクセルで、図の上のように入力すると、図の下のように計算値が現れる。
C2のセルに入れた=(365-360)/SQRT(200)はZの計算式である。
C2に現れる数値0.354は計算値0.35355を四捨五入した数値である。(表示する桁数を数値メニュで調整する)
C3のセルに入れた=NORM.S.DIST(C2,TRUE)は標準正規分布N(0,1) の(累積)分布関数値を計算するしきである。標準正規分布の英語standard normal distributionを省略した関数名となっていて、
エクセルの数式メニューでfxをクリックすると呼び出せる。引数が二つあって、第1の引数はZの値を入れる。図では、C2のセルにZの計算値0.35355があるので、Zの数値の代わりに、C2と書けばよい。
第2の引数は、(累積)分布関数値を求めたいときは、TRUEと書くきまりになっている。
NORM.S.DIST関数を使うためのヘルプを見れば、その使い方のきまりが書いてある。
TRUEの代わりにFALSEと書くと、分布密度関数が求められる。
この問題では、累積分布関数の数値が0.638と出る。これが答えの確率pで63.8%である。四捨五入すると、0.64となる。
「統計学の問題です。 ある家庭の玄関につけ」の回答画像4
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1個目の電球が平均180日で切れる、2個目の電球も平均180日で切れると、平均では360日後に2回目の取り替えをしなければいけないので、まあ確率 50%以上で年内に2回取り替えないといけなさそうだなあ、ということは当たりが付きますか?



それを「統計的」に確率を求めればよいだけです。

X と Y が独立なら、X が N(180, 10^2)、Y が N(180, 10^2) の分布をすれば、X+Y は
 N(180 + 180, 10^2 + 10^2) = N(360, 200)   ②
の分布をすることを思い出しませんか?

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
V(X + Y) = V(X) + V(Y) (ただし、X と Y が独立な場合)
という式をどこかで見ませんでしたか?
https://mathtrain.jp/exvarcov

あとは
 標準偏差 = √(分散)
であることを思い出して
 σ = √200 = 10√2 ≒ 14.142
から、②の正規分布における「365 日」を正規化して
 Z = (365 - 360)/10√2 = 0.35355・・・ ≒ 0.354
標準正規分布表から Z=0.354 となる確率を読み取りますが
 Z = 0.35 のとき 0.1368
 Z = 0.36 のとき 0.1406
ですから、約0.14 として、下半分の 0.5 を足して
 0.5 + 0.14 = 0.64
が求める確率です。

↓ 標準正規分布表
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_nor …

上に書いた説明で分からなければ、統計の単位はあきらめた方がよいです。「正規分布」が理解なければ、統計はお先真っ暗ですから。
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分からなければ「分からない」と答える。


これが正解。

実力が伴っていないんだ。
今から勉強をやり直すには時間が無い。
もう開き直ったほうが良いよ。

・・・本題・・・

さて、その問題の中の何が分からないのかな。
分かるようにアドバイスはできますよ。

「正規分布」の意味とその「記述の意味」が分からないと言うのかな。
それとも「四捨五入」が何なのか分からないのかな。
ヒントのXとYが何なのか分からないと言うのかな。
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