log10の2とlog10の3(のおよその値が与えられていて、そこ)からlog10の7のおおよその値

log10の2とlog10の3(のおよその値が与えられていて、そこ)からlog10の7のおおよその値はどうやって求められますか？解説は読みましたが、どういう思考でその解き方を思いついたか分かりません。

解き方は、
2log10の7<log10の50
ここからlog10の50を求める
もう一方は4log10の7>log10の2400
ここからlog10の2400を求める

以上からできた2つの不等式を組み合わせてlog10の7の範囲を表せる

というものでした。log10の2や3は、小数点以下第4位までで与えられていました。

なぜこれで求められるかでなく、なぜこのような求め方の発想になるか知りたいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 申し訳ありません。説明不足でした。
  なぜ7を2または4乗しようという方針がたったのかを知りたいです。

    補足日時：2019/02/04 18:23

No.5 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/04 19:25

ANo.3/4です。

>なぜ7を2または4乗しようという方針がたったのかを知りたいです。

もう一つの可能性としては、真数を大きくかつ差分を小さくするほうが誤差が小さくなると考えられるからです。

log[10]48<log[10]49<log[10]50
log[10](3×2^4)<log[10](7^2)<log[10](100/2)
log[10]3+4log[10]2<2log[10]7<2-log[10]2

(log[10]3+4log[10]2)/2<log[10]7<(2-log[10]2)/2

この回答へのお礼

何度も回答させてしまってすみません。回答さんのたてた不等式を計算してみましたが、範囲が広くて答えが出ませんでした。なので、回答さんの言う通り、誤差が少なくなるのが解説の方法なのですね。ありがとうございます。

お礼日時：2019/02/04 22:30

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/04 19:15

ANo.3です。

>なぜ7を2または4乗しようという方針がたったのかを知りたいです。

それは解答を作った人の趣味としか言えないです。

log[10]2とlog[10]3は近似値が提示されているので、別解として以下に示します。
（多分こちらのほうが簡単だと思います）

log[10]6<log[10]7<log[10]8
log[10](2×3)<log[10]7<log[10](2^3)

log[10]2+log[10]3<log[10]7<3log[10]2

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/04 17:43

以下のlogの基本公式を用いて近似値を導出しています。

log[a]a=1
log[a](b×c)=log[a]b+log[a]c
log[a](b/c)=log[a]b-log[a]c
log[a](b^c)=c×log[a]b

2log[10]7
=log[10](7^2)
=log[10]49

log[10]50
=log[10](100/2)
=log[10]100-log[10]2
=log[10](10^2)-log[10]2
=2log[10]10-log[10]2
=2-log[10]2

4log[10]7
=log[10](7^4)
=log[10](49^2)
=log[10]((50-1)^2)
=log[10](2500-100+1)
=log[10](2401)

log[10]2400
=log[10](24×100)
=log[10]24+log[10]100
=log[10](8×3)+log[10](10^2)
=log[10]8+log[10]3+2log[10]10
=log[10](2^3)+log[10]3+2
=3log[10]2+log[10]3+2

log[10]2とlog[10]3は近似値が提示されているので、上記の計算結果に対して適用すれば、log[10]7の近似値を求めることが可能です。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/02/04 17:42

あ、、、、全然違った。

　失礼。

7²＝49＜50
は誰にでも思いつくけど、、、
7⁴＝2401＞2400
をどう思いつくかという話ですな。
さすがに49の二乗まで覚えている変態は少ないだろうから、、、
面白い数だから、一度やったから覚えているという話になるのかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なかなか思い付きませんよね。

お礼日時：2019/02/04 22:32

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/02/04 17:32

log(a+b)=loga x logb