数学 集合と論証 集合AをA＝【a^2－b^2】a.bは整数と定める。 (１)全ての奇数はAの要素で

数学 集合と論証


集合AをA＝【a^2－b^2】a.bは整数と定める。

(１)全ての奇数はAの要素であることを示せ。



(2)mを偶数とする。mが4の倍数であることは、mがAの要素であるための必要十分条件であることを示せ。


解説お願いします

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/13 14:55

(1)

a^2-b^2 = n が奇数のとき、これを満たす整数 a,b があればいい。
(a+b)(a-b) = n だから a+b=n, a-b=1 であれば十分だが、
これを満たす a=(n+1)/2, b=(n-1)/2 は、n が奇数であれば整数である。
よって n∈A.

(2)
mが偶数という条件下には (mが4の倍数 ⇔ m∈A) ってことですよね？
そうでないと(1)が必要性の反例になってしまうので。

(a+b)(a-b) = n なので、
a,b の偶奇が不一致 ⇔ a+b,a-b が共に奇数 ⇔ nは奇数,
a,b の偶奇が一致 ⇔ ⇔ a+b,a-b が共に偶数 ⇔ nは4の倍数.
です。