数学の論理学的な質問なんですけど、PならばQである。⇔Pでない、またはQとなりますか？

数学の論理学的な質問なんですけど


PならばQである。⇔Pでない、またはQ


となると教わったのですが。右の意味がいまいちよく分かりません。

教えていただきたいです！

No.10 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2019/06/18 16:42

視覚的に説明しましょう。

図で表すと、下のようになります。

　（PならばQである）
　┌―――Ｑ―――┐
　｜　　　　　　　｜
　｜　┌―Ｐ―┐　｜
　｜　｜　　　｜　｜
　｜　└―――┘　｜
　｜　　　　　　　｜
　└―――――――┘

この図から、
Ｐの内部の点は必ずＱの内部の点であることがわかると同時に、
Ｑに含まれない点は決してＰの内部の点になり得ないことがわかります。

したがって、
　ＰならばＱである　⇔　ＱでなければＰでない
という条件を満たすのです。


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文章だと理解しにくいという人は、
図で理解するとよいかもしれませんね。

この回答へのお礼

ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/07/27 23:50

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/25 19:55

真理表を書いて比べれば簡単。

PならばQは
P=真 Q=真 PならばQ=真
P=真 Q=偽 PならばQ=偽
P=偽 Q=真 PならばQ=真
P=偽 Q=偽 PならばQ=真

Pでない 又はQ

になってるよね。簡単明瞭。

No.11 回答者： kmee 回答日時： 2019/06/18 19:58

「対偶が出てこない」と言う回答もありましたが、

「PならばQである。⇔Pでない、または、Q(である)」は「対偶とは関係の無いの話」ですから、出ないもの当然です。

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/06/16 20:09

No2です。

お礼がないので、どなたの回答に理解できたのか、また理解できなかったのかわかりませんが、まだどれもピンとくる回答がないということでしょうか？

なら、別の説明です
「PならばQである」ということは、「「PだけどQにならない」ということは無い」ということですよね、これを記号で書いたのが右側です。
「PだけどQにならない」は「Pである、かつ　Qでない」ですよね。
その否定は、「Pでない、または　Qである」ですよね。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/06/16 13:24

企業でSQCを推進する立場の者です。

博士（工学）です。

#2さんに１票！

このページを検索して「対偶」の言葉が出てくるのは#2さんのみ。これって、どういうことでしょうか。

「条件命題、AならばBである」が真の時、逆、裏、対偶、という条件命題が存在し、

逆「BならばAである」これは偽。
裏「AでないならばBでない」これは偽。
対偶「BでないならばAでない」これだけが真。

ということを学んだのではないですか。

「逆・裏・対偶」でググれば、詳しい解説がいっぱい出てきますよ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/16 12:32

No.5さんの言うとおり。

数学上で論理式を扱う場合、
それを「論理学」的な言葉遊びで説明しようとしてはいけません。
今回の質問の場合、「ならば」「でない」「または」の定義を確認して
⇔の両辺の真理値表を書けばそれだけです。

No.6 回答者： cage64 回答日時： 2019/06/16 08:32

まず、根本的に、

P,Qは命題
(それだけで真偽が決まるもの)とします。

数学では PならばQ が正しい、ということを証明するときに、
「Pを仮定してQを導く」
ということをします。
ということは、
そもそも「Pでない」場合は何もしなくてもいい、ということです。
Pでない場合はどうなってもかまわない（どうなっているか知らない：責任をもたない）ということです。

つまり、「PならばQ」が真とは、「Pでない場合はどうなっているか知らないが、Pが真ならQも真」といっているわけで、
これは「Pでないか、そうでない（Pが真）ならQが真」、つまり「Pでない、または　Qである」ということです
（Pでなくて、しかもQである場合もありえますが、それは数学的な「または」では両方が成立してもOKなので問題ありません）。

このあたりは多くの人が違和感を持つようで、その説明用に？スマリヤンという人が作った例を紹介します。
今、ハートのA,スペードのA,ダイヤのAの3枚のトランプを取り出し、そのうち2枚を裏向きに並べたとします。
裏向きのカードのうち1枚を指して
(*)「このカードがスペードのAならば、もう1枚の裏向きのカードの色は赤だ」
という命題を考えます。
P:このカードがスペードのA
Q:もう1枚の裏向きのカードの色は赤
です。このとき、PならばQは真です。なぜなら、黒のカードはスペードしかないのですから、このカードが黒なら残りの2枚は赤だからです。

さて、「このカード」を表にしたら、ハートのAだったとしましょう。
Pでない、場合ですし、Qについても真の場合も偽の場合もあります
（裏向きのもう1枚はスペード（黒）かもしれないしダイヤ（赤）かもしれませんから）。
ではこの場合、(*)は誤りになるのでしょうか？そんなことはありませんね。
推論としてはまったく正しいです。こういう場合でも「PならばQ」は正しい、ということを保証するために
「Pでない、または、Q」 の　Pでない、部分があるのです。

No.5 回答者： kmee 回答日時： 2019/06/16 00:48

まず、「ならば」「また」と言った単語は、「日本語での日常会話」と「論理学での用語」とでは、若干意味合いが違っています。

そこを混同しないようにしましょう。

PならばQである。⇔Pでない、またはQ

は

(P→Q) ⇔ (¬P∨Q)

です。
これは「→」の定義とも言えるような関係で、→を ¬、∧、∨ を使った式で表現したらこうなる、というものです。


Pが真のとき、
　Qが真ならば 「PならばQ」の関係が成立しています(真→真 = 真)
　Qが偽ならば 「PならばQ」とは言えません(真→偽 = 偽)

これはいいかと思います。

ですが P が偽のときは
「PならばQ」の前提条件がそもそも成立していないので、
　Qが真でも偽でも 「『PならばQ』である」とも「『PならばQ』ではない」とも言えません。

そこで、論理学では
「『PならばQ』ではない」とは言えない 、 すなわち 「『PならばQ』である」
と考え、 (偽→真 = 真) ( 偽→偽 = 真) としました
※ 「『PならばQ』である」とは言えない、 という考えは ∧ (AND,かつ) が該当するので、 →を別演算にする意味がありません。





https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86 …

No.4 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2019/06/15 23:11

PならばQである。

⇔ＱでないならＰでない。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/06/15 21:50

「PならばQである」が真となるP,Qの組み合わせは

「Pでない、またはQ」が真となるP,Qの組み合わせと同じ
という意味ですよね。

＞右の意味がいまいちよく分かりません。
（P,Q) = (真、真）(真、偽）(偽、真）(偽、偽）
の４通りを調べれば分かるのでは？