「ＰならばＱ」と「（Ｐでない）またはＱ」が同値？

タイトルの論理が理解できません
どうしてこうなるのですか？
分かりやすく説明してください・・・orz

No.1 ベストアンサー 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/07/28 20:36

「ベン図を書けばわかります」というのが、まあ、回答ではあります。

これ、いろいろな意味でわかりにくいのは確かです。日常的には、「ならば」と「または」は、使い方が全然違いますから。
あと、日常的に、「ＰならばQ」は、「ＰでないならばＱでない」という意味を含んでしまいやすいので、これも間違いの元ですね。
※数学的には、「ＰならばＱ」と「ＰでないならばＱでない（これは、元の命題の裏命題）」は、同じとは限りません。

さて、日常的に言えば、
「お手伝いをする　ならば　100円あげよう」
ということで、これが「真」とします。
裏命題は、
「お手伝いをしない　ならば　100円はあげない」
です。
これは、一見元の命題と同じ事を言っているように見えます。
しかし、「お手伝いはしてないけど、今日は、たまたまお小遣いをもらう日」だったかもしれません。
だから、「お手伝いをしてないけど　100円あげる」というのは、間違いとは限りません。

はっきり間違いなのは、「100円もらってないけど、お手伝いをした」ときだけです。

だから、P ならば Q が真の時、「（Qでない） かつ Ｐ」は偽になります。
（「お手伝いをしたら100円あげる」が真の時、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」は偽です）

一方、ＰならばQが、偽の時、「（Ｑでない）かつ Ｐ」真になります。
（手伝いをしたら100円あげるといって、「だます」つもりだったら、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」のは、うまくだまされてしまったことで、真です）

ということで、
「ＰならばＱ」と、「（Ｑでない）かつＰ」は、「反対」ということになります。
（第一ステップ）

つまり、「ＰならばQ」と「（Ｑでない）かつＰ」の否定　が同値になります。
言い換えると、「（Ｑでない）かつＰ」の否定は、「Ｑまたは（Ｐでない）」です。
（最後は、ドモルガンの法則）

この回答へのお礼

そういうアプローチからの証明もありですね・・・。
勉強になりましたねぇ、、、

お礼日時：2015/07/28 21:38

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2015/07/28 21:34

だって定義なんだもん。

この回答へのお礼

その理由はあんまりっす笑

お礼日時：2015/07/29 22:37

No.3 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/07/28 21:16

整数と自然数の関係は分かりますか。

整数は－１，０、１，２、３．．．．です。
自然数は１，２，３・・・・です。
自然数ならば整数ですよね。
自然数でない数を考えるとマイナスの整数、１／３等の有理数、πや√２等の無理数、複素数などがあります。
即ち自然数の集合は整数の集合の中に含まれます。
自然数でないと言うことはマイナスの整数かもしれないし、無理数や、複素数であるかもしれないのです。

この回答へのお礼

なるほど、、、分かりやすいたとえですね。
結果的にベン図を描くのが一番わかりやすかったですが、理解の足掛かりになりました！ありがとうございます！

お礼日時：2015/07/28 21:42

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/07/28 20:39

PならばQ

は

Pという前提が成立つならばQは真
Pという前提が成立たないならば、Qは真でも偽でも構わない。

という意味。つまりpが偽ならば 「PならばQ」は真