数学の記号∀と∃について質問します。

数学の記号∀と∃について質問します。

例えば「∀x ∈ X,x< 10」なんかだと意味はわかるのですが、
次のように二つのコンマがあるような場合はこういう解釈で大丈夫でしょうか？

∃x ∈ X, ∀y ∈ Y,x<y
命題「∀y ∈ Y,x<y」を満たすxが少なくとも一つ存在


よろしくお願いします。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 18:10

訂正しなければならない箇所は、ソコじゃないし、

些細でもない。

「任意の y(x)」って、何さ。

No.6 回答者： lusa 回答日時： 2010/06/06 15:18

何度もすみません、些細なことですが間違って書いた部分があったので訂正します。

（１）と（２）の意味についてですが

（１）：「領域Xに属するあるxが存在して、領域Yに属する任意のyに対してx<yを満たす」
（２）：「領域Yに属する任意のyに対して、領域Xに属するあるxが存在してx<yを満たす」
また、
（１）：「領域Xに属するあるxが存在して、領域Yに属する任意のy=y(x)に対してx<y(x)を満たす」
（２）：「領域Yに属する任意のyに対して、領域Xに属するあるx=x(y)が存在してx(y)<yを満たす」

「領域～に属する」といった部分が抜けていたので付け足します。

No.5 回答者： lusa 回答日時： 2010/06/06 15:09

♯2のものです。

改めて考えてみましたが、やっぱり（１）でyはxに関係します。

yがxに無関係だとするとyの値は自由に取れることになります。
するとx=2のときy=1でも（１）が真になるということですが、
前にも述べたようにこれは偽になります。
つまりyの値を自由に取れず、xの値に関係するということになります。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 10:47

(1)　⇔　∃x∈X, not ∃y∈Y, not x＜y.

と変形すれば、y が x に依存してもいいかな？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/05 23:49

(2) は OK だけど (1) はダメだよん＞#2.

「あるxが存在して、任意のy=y(x)に対してx<y(x)を満たす」と書くと y = y(x) が x に依存するように見えちゃうからダメ. y は x に依存しません.

No.2 回答者： lusa 回答日時： 2010/06/05 19:25

たぶんおっしゃる通りです。

ただ、このとき注意することがあります。

∃x ∈ X, ∀y ∈ Y,x<y　…（１）
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X,x<y　…（２）
は違った意味になります。

（１）：「あるxが存在して、任意のyに対してx<yを満たす」
（２）：「任意のyに対して、あるxが存在してx<yを満たす」

これを、背景を考えて改めて書くと

（１）：「あるxが存在して、任意のy=y(x)に対してx<y(x)を満たす」
（２）：「任意のyに対して、あるx=x(y)が存在してx(y)<yを満たす」

つまり、先に述べた条件が後の条件に影響してくるということです。

試しに上の命題について考えてみると、
（１）：x=2とすると、y>2=xならば真となる
またy>1=x/2ならば偽となる（つまりはxに関係する）
（２）：x=y-1ならば任意のyに対してx=y-1<yだから真となる
またx=2ならばy=1のときx>yだから偽となる（つまりxはyに関係する）

分かりにくい説明ですみません(^^;)

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/06/05 19:18

x の外延 X がなくなってるけど、だいたいそういう意味です。