数学1についてです。 a>0かつb>0→ab>0の逆と裏の真偽についてです。 なぜ逆は偽になるのでし

数学1についてです。
a>0かつb>0→ab>0の逆と裏の真偽についてです。
なぜ逆は偽になるのでしょうか。
a =1,b=1の時成立しそうです。
よろしくお願いします。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/08 23:24

高校の教科書とかだと、「逆」「裏」「対偶」という言葉の定義に

いい加減なことが書いてあるから、皆が混乱する。

教科書だと、命題 P,Q に対して命題 P⇒Q の
逆が Q⇒P, 裏が ¬P⇒¬Q, 対偶が ¬Q⇒¬P だと書いてある。
それはそれで結構なことなのだが、その定義だと、
「(a>0かつb>0)⇒ab>0」の逆, 裏, 対偶 は定義できないのだ。

なぜって、(a>0かつb>0) も ab>0 も「命題」ではないからだ。
(a>0かつb>0) や ab>0 は、自由変数 a, b を持つ「述語」である。
述語 P(a,b), Q(a,b) の真偽を決めることはできず、
真偽を考えるためには、述語 P(a,b)⇒Q(a,b) を命題にすり替える
ために ∀a,b,P(a,b)⇒Q(a,b) にでも置き換えて考えざるを得ない。

そこで、逆, 裏, 対偶 の定義も、命題 ∀a,b,P(a,b)⇒Q(a,b) の
逆が ∀a,b,Q(a,b)⇒P(a,b), 裏が ∀a,b,¬P(a,b)⇒¬Q(a,b),
対偶が ∀a,b,¬Q(a,b)⇒¬P(a,b) とでも変更しなければ意味をなさない。

このように「逆」「裏」「対偶」の定義にを変更してみると、
∀a,b,(a>0かつb>0)⇒ab>0 の逆は
∀a,b,aｂ>0⇒(a>0かつb>0) となり、
a = b = 1 のときに aｂ>0⇒(a>0かつb>0) が成り立つだけでは
∀a,b,aｂ>0⇒(a>0かつb>0) だとは言えないことが判るだろう。
∀ なんだから、他の a,b のことも考えろよ という話になり、
反例 a = b = -1 が見つかることになる。

要点： 命題と述語の区別くらいつけろ。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/08 17:31

補足

命題の真偽には、集合と言うものを考えると良さそうです
ab>0を満たすようなa、bの組は
(1、１)や(-2、-√3)などなどがあり
これらの組すべてを集めたものを集合Aとします
a>0かつb>0を満たすようなa、bの組には(1、1)や(6、3/5)などなどがあり
これらの組すべてを集めたものを集合Bとします
このとき集合AがBに完全に包まれているなら、Aの要素であるa、bの組はすべて、かならずBの要素でもあるので
AならばBはかならず成り立つことになります
つまり、集合AがBにすっぽり包まれているならその命題は真
AがBからはみ出す部分があるならその命題は偽となります
ご質問の命題の逆では
A:ab>0を満たす組(a、b)＝(-1、-1)などが
B:a>0かつb>0を満たす組には含まれていないので
集合Aは集合Bから一部はみ出してることになります
ゆえに偽と判断するのです

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/08 17:17

ab>0を満たすようなすべてのaとbの組み合わせについてa>0かつb>0が成り立つなら、それは真

(a、b)＝(1、1)のときだけ成り立っても他でそれだけでは足りないのです
ab>0を満たすような組み合わせの一連はa＝-1、b＝-1
これはa>0、b>0を満たしてない
よって反例が挙げられるので　裏は偽

この回答へのお礼

確かに言われてみれば！ありがとうございます！

お礼日時：2024/07/08 17:51

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/08 17:13

a=-1,b=-1の時　ab=1>0 だけれども　a=-1<0,b=-1<0 だから

逆(ab>0→(a>0)&(b>0))は偽

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/07/08 17:51