数学の証明問題

これって正解になりますか？できればその解説も欲しいです。

質問者からの補足コメント

• あっ､｢あえて対偶を使わないで｣っていうか条件です｡すみません…｡

    補足日時：2017/01/14 13:33

• これならどうですかね〜？
  要するに､
  2乗した数が３の倍数であるならば因数分解した時に3が出てくる→2乗しているので2回同じ因数が出てくる(3が2個あるはず)→その平方根の因数にも3がある
  …と､考えたわけでして。式で表すとこれでいいのかな？というのが真意です。
  ちなみに元々の問題が対偶を使って証明せよという問題なのでそちらは問題集の答えを見て理解済みですヨ｡(≧ω≦)

  
    補足日時：2017/01/14 14:29

• 2回目の補足､誤字ってました。すみません｡

    補足日時：2017/01/14 14:31

• あっ､2回目じゃなくて1回目の方でした…m(_ _)m

    補足日時：2017/01/14 14:32

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/14 14:34

対偶を使わないで証明？

対偶使わなくても、提示の証明は間違い

●対偶を使わない証明の例

N²が3の倍数ならN²=3mと書ける。
∴m=N²/3
Nを素因数分解してN=n0･n1･n2・・・と書くと
素因数分解の一意性定理により、他の分解の仕方は無い。
∴N²=n0²･n1²･n2²･・・・

mは整数だからN²/3も整数。
だから、n0²、n1²、n2²・・・のいずれかは少なくとも1個以上の3と言う因数で無いといけない。
２乗しているから、n0²、n1²、n2²・・・のいずれかは1個以上3²という因数。

∴N²=3²×α²×β²×γ²・・・の形
∴Nは3×α×β×γ

よってNは3の倍数

この回答へのお礼

えっと…つまり､考え方は合ってた､という認識でOKですか！？証明の方は参考にさせていただきますね｡ありがとうございました。

お礼日時：2017/01/14 14:42

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/14 14:33

対偶を使わないで証明？

対偶使わなくても、提示の証明は間違い

●対偶を使わない証明の例

N²が3の倍数ならN²=3mと書ける。
∴m=N²/3
Nを素因数分解してN=n0･n1･n2・・・と書くと
素因数分解の一意性定理により、他の分解の仕方は無い。
∴N²=n0²･n1²･n2²･・・・

mは整数だからN²/3も整数。
だから、n0²、n1²、n2²・・・のいずれかは少なくとも1個以上の3と言う因数で無いといけない。
２乗しているから、n0²、n1²、n2²・・・のいずれかは1個以上3²という因数。

∴N²=3²×α²×β²×γ²・・・の形
∴Nは3×α×β×γ

よってNは3の倍数




mは整数だから、N²/3が整数になるには、N×Nは、

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/14 13:42

他の方の指摘の通り間違い。

指定された命題を証明していない。

こういうのは対偶を証明するのが簡単。つまり
nが3の倍数でないなら、n^2は3の倍数ではないことを示せばよい。

証明。mを整数とすると

(3m+1)^2=3(3m^2+2m)+1
(3m+2)^2=3(3m^2+4m+1)+1

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/14 13:22

それは、nが3の倍数であるならば、n^2も3の倍数であることの証明しています。

n^2=3k kは自然数
この時3kは自然数の2乗なので
3k=3*3*m^2である。mは自然数
n=±√3k
nが自然数なのでn＞0
k=3m^2
よってn=3mとなり、3の倍数である。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/14 13:15

Bと言う文字がはいってしまったので、正確に再度

-----------------------------------------------------------
間違い。
「Nが3の倍数なら　→　N²は3の倍数」を証明している。
問題はこの逆を証明しなさいと言ってる訳です。

①「N²が3の倍数なら　→　Nは3の倍数」
　　↑この「」内を証明しないといけない

任意の命題の対偶は常に成り立つから対偶を証明する。

①の対偶は

①'「Nが3の倍数で無いとすると、N²は3の倍数では無い」
①'を証明すれば、その対偶の①も成り立つ。

①'の証明
Nが3の倍数で無いとすると、Ｎは整数aについて
N=3a+1
N=3a+2
と書ける

N=3a+1ならN²=(3a+1)²=3(3a²+2a) + 1
となり3の倍数+1と言う形になる。

N=3a+2ならN²=(3a+2)²=3(3a²+4a+1) + 1
となり3の倍数+1と言う形になる。

∴Nが3の倍数で無いとすると、N²は3の倍数では無い。

この対偶をとると
N²が3の倍数なら、Nは3の倍数である。

①が証明できた

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/14 13:11

間違い。

「Nが3のB倍数なら　→　N²は3のB倍数」を証明している。
問題はこの逆を証明しなさいと言ってる訳です。

①「N²が3のB倍数なら　→　Nは3のB倍数」
　　↑この「」内を証明しないといけない

任意の命題の対偶は常に成り立つから対偶を証明する。

①の対偶は

①'「Nが3の倍数で無いとすると、N²は3のB倍数では無い」
①'を証明すれば、その対偶の①も成り立つ。

①'の証明
Nが3の倍数で無いとすると、Ｎは整数aについて
N=3a+1
N=3a+2
と書ける

N=3a+1ならN²=(3a+1)²=3(3a²+2a) + 1
となり3の倍数+1と言う形になる。

N=3a+2ならN²=(3a+2)²=3(3a²+4a+1) + 1
となり3の倍数+1と言う形になる。

∴Nが3の倍数で無いとすると、N²は3の倍数では無い。
この対偶をとると
N²が3の倍数なら、Nは3の倍数である。

①が証明できた

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/01/14 13:05

証明の仕方は合っていますが、

kの定義を忘れていますね。
k=自然数or整数(整数が適当)が必要だと思います。