多様体の基礎 多様体の基礎の部分で、極大座標近傍系を考えればいくらでも小さなC∧r級座標近傍がとれる

多様体の基礎
多様体の基礎の部分で、極大座標近傍系を考えればいくらでも小さなC∧r級座標近傍がとれるという部分の証明（画像)がよくわかりません。
「小さい」という部分の意味は理解しましたが、証明の言っていることが今ひとつつかめません。
とくに、十分小さな近傍をとれば、極大座標近傍系のある近傍に含まれるとして良いという部分が、何故そう言えるかがわかりません。
教えて下さい

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/29 17:08

数学の文章で「〜としてよい」とあれば、それは

「〜である場合だけ説明すれば十分だよね？
そうでない場合については自分で解るよね？」という意味です。

今回の問題では、W⊂Ua となるような (Ua,φa) が S に無い場合は、
p∈Ua であるような (Ua,φa) をひとつ採って W' = W∩Ua と置けば
W の替りに W' を使って以下の説明が同様に続けられます。
p∈W'⊂W だから、「十分小さい」W’ が存在するからかまわないよね？
ということです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/29 16:12

多様体の定義から

その
p∈M
に対して
p∈U_p⊂M
U_pはMの開集合
U_pはR^nのある開集合Gと同相
となるU_pが存在する
のです
(存在しなければ多様体とはいいませんし多様体の(極大座標)近傍系とはいいません)

だから
そのU_pを

W=U_p
とすればよいし

U_p∩WをWに置き換えてもよい

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/08/29 08:00

＞十分小さな近傍をとれば、極大座標近傍系のある近傍に含まれる

近傍のとり方が「不十分に小さい」と、極大座標近傍系のある近傍に含まれずにはみ出してしまう
ということでは？