楕円面と平面の方程式

楕円面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1を平面Pで切断すると、切断面が円になった。平面Pの方程式を求めよ。という問題があります。
高校数学で解けますか？また、ベクトルを使って解けますか？答えをお教えください。

No.1 回答者： noname#94461 回答日時： 2009/07/13 09:54

少し考える必要がありますが、 高校数学の範囲で解けます。

a,b,cのいずれかが等しい場合は、等しい2軸を含む平面に平行な面で切断すれば切断面が円になることは明らかです。

それ以外については、座標軸変換、スケーリングを施し簡単化した次のケースについて検討します。

(1) a>b>c、b=1;

x-z平面内で半径1の円を描き、x軸正方向から反時計方向に回転して楕円との交点をhとする。
そうすると、求める平面Pは、y軸及びhを通る平面となる。

x-y面とP面とのなす角度を tとすると、楕円面とP面との交点上の点は次のような式を満足する。

(2) (x/a)^2 +y^2 +(z/c)^2 = 1;

点hの座標に関しては: (x',y',z')=(x',0,z')、新しい座標系(1,0,0)では次の式が成立する。
(3) y'=0;
(4) (x'/a)^2 +(z'/c)^2 = 1; // (y=y'=0 なので)
(5) x' = cos(t); z' = sin(t);
4,5式より
(6) cos^2(t)/a^2 +sin^2(t)/c^2 = 1;

c^2*(1-sin^2(t)) +a^2*sin^2(t)=(ac)^2; // 6式に(ac)^2を掛けて
(a^2 -c^2)*sin^2(t) = c^2*(a^2-1); // 移項し式を変形する

したがって座標回転角　tについて次の式が成立する。

(7) sin^2(t) = c^2*(a^2-1)/(a^2-c^2);

この時、楕円体とP面との交点上では、楕円体自体は動かさないとして、
y軸まわりの角t の座標系の回転で元の座標系での点(x,y,z)は、
新しい座標系で(u,v,w)になったとして、次の式が成立する。

(8) (u,v,w) = (u,v,0) = (u,y,0);
(9) x = u*cos(t); z = u*sin(t);

8,9式を2式に代入すると
(10) (u*cos(t)/a)^2 +v^2 +(u*sin(t)/c)^2 =1;

10式に(ac)^2を掛け、7式を代入する等して変形していくと

u^2 *c^2 *(1-sin^2(t)) +(acv)^2 +u^2*a^2*sin^2(t) = (ac)^2;

u^2 *c^2 +u^2*(a^2-c^2)*sin^2(t) +(acv)^2 = (ac)^2;

u^2 *c^2 +u^2*c^2*(a^2-1) +(acv)^2 = (ac)^2;
u^2 *a^2*c^2 +(acv)^2 = (ac)^2;

(11) u^2 +v^2 =1;

以上で回転楕円体と平面Pの交点では、10式から11式が成立することが導かれ、
円上に並んでいることが解る。

7式を変形すると、P面の方程式は次の通りとなる。
(a>b>c, b=1としていたが、b=1の条件を外しても同一式となり、bの値とは無関係)

(12) z^2/(x^2+z^2) = c^2*(a^2-1)/(a^2-c^2)

図があればあと少し分かりやすいとは思いますがすみません。
参考にしていただければ幸いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なかなか難しいですね。
高校以上の数学で、もっと簡単に解ける方法はないでしょうか？

お礼日時：2009/07/19 23:29