Aを環としてそのイデアルIと根基r(I)を考えます。 r(I)が極大イデアル であるとき、Iは準素イ

Aを環としてそのイデアルIと根基r(I)を考えます。

r(I)が極大イデアル であるとき、Iは準素イデアルである。特に極大イデアル mのべきはm準素イデアルである。


以下証明

r(I)=mとすればmのA/Iへの像はA/Iへのベキ零根基となり、A/Iへのベキ零根基はA/Iの全ての素イデアルの共通部分であるからA/Iはただ一つの素イデアルを持つ。よってA/Iの全ての元は単元もしくはベキ零元である。
したがってA/Iの零因子は全てベキ零元である

という命題が教科書(アティアマクドナルド可換代数入門p78)

に載っていました。

質問1.そもそも極大イデアル mのべきとは何でしょうか？m^2とかm^nのことかと思いましたが、それならば極大イデアル mのべき積と書くと思うので何か教えてください。

質問2
A/Iへのベキ零根基はA/Iの全ての素イデアルの共通部分であるからA/Iはただ一つの素イデアルを持つ

と言えるのは何故ですか？

質問3

よってA/Iの全ての元は単元もしくはベキ零元である。と言えるのは何故ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/10/19 17:15

1)

極大イデアルMのべきとは
M^2={x^2;x∈M}
とか
M^n={x^n;x∈M}
のことでよいと思います

2)
r(I)=MのA/Iへの像は極大イデアルだから
A/Iのベキ零根基で
A/Iの全ての素イデアルの共通部分である
極大イデアルだから
A/Iはただ一つの素イデアルを持つ
と言えるのです

3)
よってA/Iの全ての元は
r(I)=MのA/Iへの像(極大イデアル)に属さないものは単元
r(I)=MのA/Iへの像(極大イデアル)に属すものはベキ零元である
といえるのです

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/10/20 05:13

回答1. 訳語に関しては, 訳者に直接問い合わせてほしいんだが.

原書では,
In particular, the powers of a maximal ideal m are m-primary.
となっている.
「極大イデアル m のベキ」と訳して, まったく問題ないと思うが.
ただし, イデアルの積の定義を知らないと大変だよ.
例えば, m² = {x² | x ∈ m} と定義した場合, この m² がイデアルになるかどうか, 考えてみるといい.

回答2. 写像 g : A → A/I を, g(x) = x + I で定義する.
P を A/I の任意の素イデアル, g⁻¹(P) = p とすると,
g(m) = nil(A/I) ⊂ P であるから m ⊂ p となるが, m が極大イデアルなので m = p がいえる.
これより nil(A/I) = P であり, nil(A/I) が A/I の唯一つの素イデアルと分かる.
つまり, A/I は局所環である.

回答3. 局所環 (A/I, nil(A/I)) において, nil(A/I) の元でないものは, すべて単元.
理由は簡単だから自分で考えてほしいが, どうしても分からないなら補足質問してくれ.
nil(A/I) の元がすべてベキ零元であることは, さすがに説明の必要は無いだろう.

ところで, あなたは大学数学に関して, 随分たくさん質問しているけれど, 実際はどこまで理解できているのかな.
ここは「私は一生懸命, 勉強しています」なんてことを, ひたすらアピールする場所ではないと思うが.
よほどのことが無い限り, 疑問は自力で解決するというのが, 大学数学を学ぶ際の姿勢では？