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(1) n=4 のとき、
対角線の本数は、
4(4-3)/2=2
成り立つ。
(2) n=k のとき成り立つと仮定すると、
対角線の本数は、k(k-3)/2
n=k+1 のときを考えると、k個の頂点より1個増えた(k+1)個目の頂点から、自分自身の点と両隣の
点、計3点を除いた (k+1-3)=(k-2) 個の頂点へ新たに対角線が引けるので、対角線の本数は、n=
kのときと比べてその分だけ増えて、
k(k-3)/2+(k-2)=k(k-3)/2+2(k-2)/2=(k²-3k+2k-4)/2=(k²-k-4)/2=(k+1)(k-4)/2=(k+1){(k+1)-3}/2
よって、n=k+1 のときも成り立つ。
(1)、(2)より、すべての自然数(n≧4)について成り立つ。
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