数学II 積分法にて 写真は問題(上)とその解説の板書(下)です。 解説の黄色の下線部がよく分かりま

数学II 積分法にて

写真は問題(上)とその解説の板書(下)です。
解説の黄色の下線部がよく分かりません。易しく説明してくださる方いらっしゃいませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/02 00:08

x f’(x) = 2x^2 - 2x の両辺を x で割って計算を進めるために、

一旦 x ≠ 0 のときを考えています。
このため、論理的には f’(x) が
x ≠ 0 のときは f’(x) = 2x - 2 だけれど
x = 0 のときは f’(x) = 2x - 2 = -2 ではないような関数ではないか？
を検討する必要が生じます。

でも、そういうことって、起こらないですよね。
f(x) が多項式であれば、f’(x) も多項式なので連続であり、
f’(0) = lim[x→0] f’(x) = lim[x→0] (2x - 2) = -2
であることは判っているからです。
このため、f’(x) = 2x - 2 は x = 0 でも成立することになります。

これは、x ≠ 0 で場合分けをする時点から見通せていることですが、
確認するところを書かないと、答案としては不完全です。
lim を持ち出すよりも写真の解答のほうが簡潔なので、
あのくらいの書き方が却っていいかなあと思うのです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/01 21:01

x≠0 として議論したので、f(x)が x=0でも成立する理由を述べたつもりのようです。

しかし、全く、無用な議論です。

元の式は、まとめると
x(f'(x)-2x+2)=0・・・・・①
となり、
x=0 または　f'(x)-2x+2=0
をえる。関数式は x=0 に固定されるものではないので、①を任意のxついて成立する
ためには、後者の式さえ満たせば良いことになります。