ローラン展開について

ローラン展開について
解析学の問題をやっています。
f(z)=1/z(z^4-1)
for z∈C＼N，
N=｛z∈C｜z(z^4-1)=0｝
のとき、fのz=0のまわりのローラン展開を求めたいのですが、
行き詰っています。
解き方を教えて頂けませんでしょうか。お願いします。
0＜|z|＜1と
|z|＞1にわけて考えればいいのですよね？

0<|z|<1のときは
1/2z{1/(z^2-1)-1/(z^2+1)}と部分分数分解して、
1/2zはそのままで、
|z^2|<1, |-z^2|<1であることから、
f= -1/2z ｛?(n=0～∞)z^2n + ?(n=0～∞)(-z^2n)｝
でよいでしょうか？

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/29 15:36

「z=0 のまわりのローラン展開」は、z=0 の近傍で定義されるものですから、

|z|>1 の範囲を考慮する必要はありません。
1/(z^4-1) を、z=0 のまわりでテーラー展開すれば十分でしょう。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
勘違いしていました。
実は、問題文には「各領域におけるローラン展開を求めよ」と書いてあるだけで、
z=0のまわりとは書いていませんでした。
勝手に「z=0を中心とするローラン展開」ととらえてやっていたのですが、
その場合はどうなるのでしょうか？

補足日時：2010/07/29 15:49

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/29 15:54

1/(z^4-1) のテーラー展開は、部分分数分解を経なくても、

初項 -1、公比 z^4 の等比級数で求まるでしょう。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/29 16:27

「各領域におけるローラン展開」とは、オカシナ表現ですね。

「各点におけるローラン展開」なら、理解できるけれど。

1/{z(z^4-1)} の特異点は、z = 0, ±1, ±i だから、
これら５点でのローラン展開を各々求めて、あとは、
「それ以外の点では、主要部 0 で、テーラー展開と一致」
とでも書いとけば済まないかな？
任意の点を中心としてテーラー展開を具体的に書き下すのは、
なかなか厄介なので、逃げたいところです。

z = 0 でのローラン展開は、前述のように、
1/{z(z^4-1)} = (-1/z)/(1 - z^4)
= Σ[k=0→∞] (-1/z)(z^4)^k　　　　; 等比級数の和公式
= -1/z + Σ[k=1→∞] (-1)z^(4k-1)
でいいとして、

z = 1 でのローラン展開は、どうしましょうか。
これが求まれば、
z = -1, i, -i でのローラン展開は、z = 1 でのローラン展開を
z = -x, -ix, ix で各々変数変換すれば済みますね。

さて…

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/29 17:18

g(z)=1/(z-1)をz=0の周りにテーラー展開して

g(z)=-1-z-z^2-z^3-z^4-z^5+...
g(z^4)=1/(z^4-1)=-1-z^4-z^8-z^12-z^16-z^20+...

f(z)のz=0のまわりのローラン展開は
f(z)=g(z^4)/z=-1/z-z^3-z^7-z^11-z^15-z^19+...

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/29 22:16

1/{z(z^4-1)} の z=1 でのローラン展開ですが…

z = 1 + h と置いて、f(z) = 1/{z(z^4-1)}
= 1/{z(z-1)(z+1)(z^2+1)} = 1/{(1+h)h(2+h)(2+2h+h^2)} = 1/{h(4+10h+10h^2+5h^3+h^4)}
より、1/(4+10h+10h^2+5h^3+h^4) のマクローリン展開を求めれば済みます。
それは、1 ÷ (4+10h+10h^2+5h^3+h^4) を組み立て除法で割ってゆけば計算できます。

1/(4+10h+10h^2+5h^3+h^4) = (1/4) - (5/8)h + (15/16)h^2 - (35/32)h^3 + (71/64)h^4 - …
だから、
f(z) = (1/h){ 1/(4+10h+10h^2+5h^3+h^4) }
= (1/h){ (1/4) - (5/8)h + (15/16)h^2 - (35/32)h^3 + (71/64)h^4 - … }
= (1/4)/(z-1) - (5/8) + (15/16)(z-1) - (35/32)(z-1)^2 + (71/64)(z-1)^3 - …

一般項を書き下すのは、難しそうです。

No.6 回答者： pascal3 回答日時： 2010/08/18 03:25

> 「各領域におけるローラン展開」とは、オカシナ表現ですね

と書かれている回答者の方がいらっしゃいますが、おかしくないです。
Taylor展開は展開の中心点の近傍でなりたつ（正しい値に収束する）展開ですが、Laurent展開の場合、その展開が妥当となる領域は、必ずしも展開の中心点近傍とは限りません（逆に「無限遠点の近傍」かもしれない）。 こういうわけで、Laurent展開には展開の中心点だけでなく領域も示す必要があります。

まずは複素関数論の本をもってきて、今の例題よりも簡単な（特異点が2個くらいの）例題で「領域ごとにLaurent展開を切り替える例」をさがし「そのように切り替えないといけない理由」を納得するのが先決かと思います（基本的には収束の問題です）。
ご質問のなかに既に

> 0＜|z|＜1と
> |z|＞1にわけて考えればいいのですよね？

と書いてあるので、たぶんそういう教科書は持っておられるのですよね。 何のために領域を分けるのかを理解しておられるかどうかが第一の問題。
そこさえクリアできれば、あとは技術的な問題で、展開の中心点で発散する部分とそうでない（Taylor展開などで処理できる）部分をどう切り分けるかというテクニックの話になります。 掛け算（因数分解）で分けることもできるし、足し算（部分分数分解）で分けることもできるので、どちらを用いるかは状況次第、ということです。