環上の加群

① 画像の命題の証明に関してｍ（⊕Ａ）はどういう集合なのでしょうか？
②また、ピンクの下線部分の同型はなぜ言えるのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/31 14:11

①

それは本来、切り取りを見せて人にきくようなことじゃなく、
本の少し前のところを読むべきことです。
おそらく、ｍ（⊕Ａ） = { au | a∈m, u∈⊕Ａ } を意図している
のだとは思われますが。
ここで、au は加群M でのスカラー倍の演算です。

②
M/mM = （⊕Ａ）/ｍ（⊕Ａ） の元 X の代表元 x をとると、
X の元は x+au, a∈M, u∈⊕Ａ と書けます。
x, u の成分表示が x = ⊕x_i,　x_i∈A, i∈I,
u = ⊕u_i,　u_i∈A, i∈I だとすると、
x+au = ⊕x_i + a⊕u_i = ⊕(x_i + a u_i) です。
m が A のイデアルなので、a u_i ∈ m. よって、
{ x_i + a u_i } は A/m の類 [ x_i ] を成します。
以上より、X = ⊕[ x_i ],　[ x_i ]∈A/m.
この対応は、M/mM から ⊕(Ａ/m) への全単射を与えますが、
準同型であることは容易に確認できます。(計算してみてください)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/01/07 15:00