高校数学Aの整数についてです。 aとbが互いに素であるとき、a-mbとbは互いに素でしょうか？ また

高校数学Aの整数についてです。
aとbが互いに素であるとき、a-mbとbは互いに素でしょうか？
また、素ならば証明も教えて欲しいです。

a-mbはbでくくれないので互いに素でないと最初思ったのですが、例えば9-2は7でくくれないけど7の倍数であるから
ある整数で くくれないからといって互いに素であるとは言えないのでしょうか？
また、合同式とは相性が良くないのでしょうか？
混乱してよく分からなくなりました。
回答よろしくお願いします。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/10 15:02

a と b が互いに素であるならば、a-mb と b は互いに素である。

……[1]
対偶をとります。
a-mb と b は互いに素でないならば、a と b は互いに素でない。……[2]

a-mb と b は互いに素でないならば、
a-mb=kc……①
b=l c……②
とおける。
②を①に代入
a-m(l c)=kc
a=(k+m l)c……③
②、③より、a , b は共通因数 c をもつので互いに素ではない。
よって、[2] は真であり、対偶が真なので、[1] も真である。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/10 18:55

＞aとbが互いに素であるとき、a-mbとbは互いに素でしょうか？

そです。

a-mb と b の最大公約数が g だとすると、
　a-mb = gu,
　b = gv.
　u,v は整数
と置けるので、
a = gu + m(gv) = g(u+mv) となって
b = gv とより
g は a と b の公約数です。

a と b が互いに素なら、g = 1 と判ります。
よって、a-mb と b は互いに素です。