円の方程式で、例えば(x+3)²+(y-4)²=20 だったら、中心は(-3，4)だと思いますが、な

円の方程式で、例えば(x+3)²+(y-4)²=20
だったら、中心は(-3，4)だと思いますが、なぜそうなるんですか？
xとyが中心の座標になったら、それは円ではなく点で、半径が0になる…というか半径という概念がないからですか？

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/02/22 08:40

中心が(０，０)だとｘ²＋ｙ²＝２０ですよね。

ｘ＝０でｙ＝±√20
y=0でｘ＝±√20
(x+3)²+(y-4)²=20では
ｘ＝－３でｙ＝±√20＋４・・・ｙ＝４の上下±√20に円の座標がある。
ｙ＝４でｘ＝±√20ー３・・・ｘ＝－３の左右±√20に円の座標がある。
ってことで、中心は（－３，４）だな。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/22 08:45

円は、円の中心と円周上の点の距離が一定の点の集まりです。

円の中心をA(a,b) 、円周上の点をP(x,y) 、半径（一定の距離) をｒとすると、
AP=ｒ
AP＝√{(x-a)²+(y-b)²}
よって、
√{(x-a)²+(y-b)²}＝ｒ
(x-a)²+(y-b)²＝ｒ²

(x+3)²+(y-4)²=20
だったら、中心は(-3，4)、半径√20=2√5 の円です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/22 09:12

(x+3)²+(y-4)²=20 という式は、多項式になっていて扱いやすいけれど、

本来の形は √((x+3)²+(y-4)²)=√20 です。
(x,y) と (3,4) の間の距離が √20 で一定。
円の定義そのもので、(3,4) が中心、√20 が半径になっていますね。
この式を加工して (x+3)²+(y-4)²=20 になります。

(x+3)²+(y-4)²=0 の場合を円じゃないと言うか
半径 0 の円と呼ぶかは、流儀しだいでしょう。
数学用語の定義にも、流派による微妙なブレはあるものです。

No.4 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/22 09:22

そういう判断でも間違いではないかと

(x+3)²+(y-4)²=r²
という式を考えると、あくまでこの式は円周を表す（円周部分で等号が成り立つ）式となります
中心部分ではrを0に近づけた点になるので、左辺を0に持っていくという解釈も確かに出来るかと思います

他にはr=√20=2√5とおいて、円の中心を(s,t)とするとx=s+r cosθ, y=t+r sinθとなる筈なので、それを代入してs,tを求める（確かに(-3,4)になることを確かめる）事も出来ます

No.5 回答者： 銀鱗 回答日時： 2020/02/22 09:36

ええと、

　(x+3)²+(y-4)²=20
ならば、ｘとｙが同時に ”0” の値をとることはないぞ。
　”＝20”
って所がそれを許さないんだ。

そして、
　”＝20”
すなわち
　√20
が半径ってことで、点にはならない。

ってことで取り越し苦労です。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/22 11:29

(x + 3)² + (y - 4)² = 20　　　　①

直接的には、①を満足する (x, y) の値をいいろいろ求めて、その「軌跡」が「(-3，4) を中心とする円」であることを確認してみてください。
それが「論より証拠」。

(x, y) のペアの求め方は、次のようにすればよいです。

y = 4 ならば
　(x+3)² = 20
より
　x = -3 ± √20
従って (-3 - √20, 4), (-3 + √20, 4)

x = -3 ならば
　(y-4)² = 20
より
　x = 4 ± √20
従って (-3, 4 - √20), (-3, 4 + √20)

その他にも、たとえば
y = 0 なら
　(x+3)² + 16 = 20
→　(x+3)² = 4
より
　x = -3 ± 2
従って (-5, 0), (-1, 0)

x = 0 なら
　9 + (y-4)² = 20
→　(y-4)² = 11
より
　y = 4 ± √11
従って (0, 4 ± √11), (0, 4 ± √11)

これらの (x, y) をグラフ用紙にプロットしてみてください。
点数が足らなければもっと計算して。

そうすれば、その「軌跡」が「(-3，4) を中心とする円」であることが分かるはずです。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/22 11:57

(x+3)²+(y-4)²=20…①　に(x,y)=(-3,4)を代入してみてください

0²+0²＝２０となってしまうので　これは矛盾
つまり、①自身は決して点(-3,4)を表してはいないということなんです。

(1+3)²+(2-4)²=20より　(1,2)
(-1+3)²+(０-4)²=20より　(-1,0)など
①を満たす（無数の）点の集まりが、結果的に円を描いているという意味の式なんです。

さてここで、2次関数のグラフの頂点について思い出してみてください
y=(x-1)²+2は頂点(1,2)でしたよね　⇔y-2=(x-1)²
これは　y=x²（頂点(0,0))を(1,2)だけ平行移動したグラフです
関数の平行移動では平行移動分を考慮して、機械的に元の関数のxを(x-平行移動分)=(x-1)に置き換え
元の関数のyを　(y-平行移動分）=(y-2)に置き換えればよいので
y=x²　→平行移動→　(y-2)=(x-1)²　となったわけです
（なぜ機械的に置き換えればよいのかはテキストで研究してみてください）
この機械的置き換えはなにも、2次関数に限ったものではなく1次関数や円の方程式などでも共通したことなのです

したがって、もともとx²+y²＝√20（中心は原点）と言う円があってこれを　x方向に-3、ｙ方向に+4だけ平行移動させると
x→({x-(-3)}=(x+3)
y→(y-4)という置き換えが生じるので
x²＋y²=２０→平行移動→(x+3)²+(y-4)²=20　という式が得られた　と捉えることにすると
中心は　平行移動分に着目して　(-3,4)に移ったことになります
このことを考慮して(x+3)²+(y-4)²=20　のx+3とy-4から原点中心の円をどれだけ平行移動したかを読み取り
①の中心の座標は(-3,4)であると判断できるのです。

ちなみに、動点P(x,y)を考えると2点間の距離の公式などから　原点OとPの距離は
OP＝√(x²+y²)です
OP=rとおいて両辺2乗すれば
x²+y²=r²　でこれはOから等距離にある点Pの集まり→Oを中心とした円（半径はｒ）という意味を持ちます
ゆえに、x²+y²＝√20は中心が原点と言えます

No.8 回答者： ask001 回答日時： 2020/02/25 00:22

x^2 + y^2 = 1

の中心が(0,0)なのはわかりますか？
x=1, -1のとき、y=0
とか、
x=0のときy=1, -1
みたいに、もとの式を満たす点を集めて行くと、最終的にそれが円になり、そのとき、その円の中心は結局のところ(0,0)でした。
という話です。
そもそも、(0,0)から1だけ離れた点の集まりとも言えるので、当たり前といえば当たり前ですね。
これは半径が変わっても同じです。

半径を2√5にして、x, yの値を、-3、+4平行移動したのが、
(x+3)^2 + (y+4)^2 = 20です。

なので、中心もx正方向-3、y正方向+4平行移動されます。